К. р. № 2 І вариант. Г-7 1. A B E C D Докажите равенство треугольников АВЕ и DCE, если АЕ = ED, ∠A = ∠ D. Найдите периметр ∆ АВЕ, если DE = 8 см, DC = 6 см, ЕС = 4 см. 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 2 см меньше боковой стороны. 3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ/ к боковой стороне АС.

1. Докажем равенство треугольников АВЕ и DCE.

Рассмотрим треугольники АВЕ и DCE.

• AE = ED (по условию);
• ∠A = ∠D (по условию);
• ∠АЕВ = ∠DEC (как вертикальные).

Следовательно, треугольники АВЕ и DCE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Найдем периметр ∆ АВЕ, если DE = 8 см, DC = 6 см, ЕС = 4 см.

Так как ∆ АВЕ = ∆ DCE, то АВ = DC = 6 см, ВЕ = ЕС = 4 см, АЕ = DE = 8 см.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

$$ P_{ABE} = AB + BE + AE = 6 + 4 + 8 = 18 \text{ см}. $$

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Найдем стороны треугольника, если его основание на 2 см меньше боковой стороны.

Пусть x см - боковая сторона, (х-2) см - основание. Периметр равен сумме длин всех сторон.

$$ P = a + b + c $$

Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны.

Составим уравнение:

$$ x + x + x - 2 = 34 $$ $$ 3x = 36 $$ $$ x = 12 $$

Боковая сторона равна 12 см, основание: 12 - 2 = 10 см.

3. Начертим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведем медиану ВВ₁ к боковой стороне АС.

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C

Построение:

• Строим отрезок АС.
• Находим середину стороны АС - точку В₁.
• Строим окружность с центром в точке А радиусом АВ.
• Строим окружность с центром в точке С радиусом СВ.
• Точка пересечения окружностей - точка В.
• Соединяем точку В с точками А и С.
• ВВ₁ - медиана, проведенная к боковой стороне АС.

Ответ: 1) доказали; 2) 12 см, 12 см, 10 см.