2. К окружности с центром O провели касательную CD (D – точка касания). Найдите радиус окружности, если \(CO = 16\) см и \(\angle COD = 60^\circ\).

Дано:
* Окружность с центром O.
* CD - касательная.
* D - точка касания.
* \(CO = 16\) см
* \(\angle COD = 60^\circ\)

Найти: Радиус окружности OD.

Решение:
1. Т.к. CD - касательная, то радиус OD перпендикулярен касательной CD в точке касания D. Следовательно, \(\angle CDO = 90^\circ\).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CDO\).
Синус угла \(\angle COD\) равен отношению противолежащего катета CD к гипотенузе CO:

\(\sin(\angle COD) = \frac{CD}{CO}\)

3. Выразим CD:

\(CD = CO \cdot \sin(\angle COD)\)

4. Тангенс угла \(\angle COD\) равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему катету OD:

\(\tan(\angle COD) = \frac{CD}{OD}\)

5. Выразим OD:

\(OD = \frac{CD}{\tan(\angle COD)}\)

Подставим выражение для CD:

\(OD = \frac{CO \cdot \sin(\angle COD)}{\tan(\angle COD)}\)

6. Известно, что \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), следовательно:

\(OD = CO \cdot \cos(\angle COD)\)

7. Подставим известные значения:

\(OD = 16 \cdot \cos(60^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\) см.

Ответ: Радиус окружности равен 8 см.