Известно, что точки A, B, C и D – вершины прямоугольника. Дано: A(0; 0); B(0; 2); D(9; 0). Определи координаты четвёртой вершины C.

Решение:

Прямоугольник ABCD задан координатами трех вершин: A(0; 0), B(0; 2), D(9; 0). Найдем координаты четвертой вершины C.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор AB должен быть равен вектору DC, а вектор AD должен быть равен вектору BC.

Рассмотрим векторы:

• \( \vec{AB} = (0-0; 2-0) = (0; 2) \)
• \( \vec{AD} = (9-0; 0-0) = (9; 0) \)

Пусть координаты точки C будут \( (x; y) \). Тогда:

• \( \vec{DC} = (x-9; y-0) = (x-9; y) \)
• \( \vec{BC} = (x-0; y-2) = (x; y-2) \)

Приравниваем векторы:

• \( \vec{AB} = \vec{DC} \Rightarrow (0; 2) = (x-9; y) \). Отсюда \( x-9 = 0 \Rightarrow x = 9 \) и \( y = 2 \).
• \( \vec{AD} = \vec{BC} \Rightarrow (9; 0) = (x; y-2) \). Отсюда \( x = 9 \) и \( y-2 = 0 \Rightarrow y = 2 \).

Оба условия дают одинаковые координаты для точки C.

Следовательно, координаты четвертой вершины C равны (9; 2).

Ответ: C(9; 2).