14.21. Известно, что sint + cost = 0,6. Вычислите: a) sint + cost; б) tgt sint + ctg t cost.

a) sin³t + cos³t

• Воспользуемся формулой суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• Тогда: sin³t + cos³t = (sin t + cos t)(sin²t - sin t cos t + cos²t)
• Упростим, зная, что sin²t + cos²t = 1: (sin t + cos t)(1 - sin t cos t)
• Нам известно, что sin t + cos t = 0.6. Возведем это в квадрат: (sin t + cos t)² = 0.6²
• Раскроем скобки: sin²t + 2 sin t cos t + cos²t = 0.36
• Упростим, зная, что sin²t + cos²t = 1: 1 + 2 sin t cos t = 0.36
• Выразим 2 sin t cos t: 2 sin t cos t = 0.36 - 1 = -0.64
• Найдем sin t cos t: sin t cos t = -0.64 / 2 = -0.32
• Подставим известные значения в исходное выражение: sin³t + cos³t = (0.6)(1 - (-0.32)) = 0.6(1 + 0.32) = 0.6(1.32) = 0.792

Ответ: 0.792

б) tg t sin t + ctg t cos t

• Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: tg t = sin t / cos t, ctg t = cos t / sin t
• Тогда выражение примет вид: (sin t / cos t) * sin t + (cos t / sin t) * cos t = sin²t / cos t + cos²t / sin t
• Приведем к общему знаменателю: (sin³t + cos³t) / (sin t cos t)
• Ранее мы нашли, что sin³t + cos³t = 0.792 и sin t cos t = -0.32.
• Подставим известные значения: 0.792 / (-0.32) = -2.475

Ответ: -2.475