1. Известно, что loga 4 = b b. Найдите log√2 Va

Решение:

Дано: \[ \log_a 4 = b \]

Найти: \[ \log_{\sqrt{2}} \sqrt[4]{a} \]

Сначала преобразуем выражение, которое нужно найти:

\[\log_{\sqrt{2}} \sqrt[4]{a} = \log_{2^{\frac{1}{2}}} a^{\frac{1}{4}}\]

Используем свойство логарифмов: \[\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\]

Применим это свойство к нашему выражению:

\[\log_{2^{\frac{1}{2}}} a^{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} \log_2 a = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} \log_2 a = \frac{1}{2} \log_2 a\]

Теперь нам нужно выразить \[\log_2 a\] через b. Из условия известно, что \[\log_a 4 = b\]. Преобразуем это выражение:

\[\log_a 4 = b \Rightarrow \frac{\log_2 4}{\log_2 a} = b \Rightarrow \frac{2}{\log_2 a} = b\]

Отсюда выразим \[\log_2 a\]:

\[\log_2 a = \frac{2}{b}\]

Теперь подставим это значение в наше выражение:

\[\frac{1}{2} \log_2 a = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{b} = \frac{1}{b}\]

Ответ: \[\frac{1}{b}\]