Известно, что AC = MK, AB = KP, ∠A = ∠M, ∠C = 24°, ∠B = 48°. Найдите градусную меру ∠PMK.

Дано:

Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle PMK \).

• \( AC = MK \)
• \( AB = KP \)
• \( \angle A = \angle M \)
• \( \angle C = 24^{\circ} \)
• \( \angle B = 48^{\circ} \)

Найти:

\( \angle PMK \)

Решение:

По двум сторонам и углу между ними, если они равны, то треугольники равны. В данном случае, по условию, \( AC = MK \) и \( AB = KP \). Также дано, что \( \angle A = \angle M \).

По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), \( \triangle ABC \) равен \( \triangle KMP \) (обратите внимание на порядок вершин). Таким образом, \( \angle C = \angle K \) и \( \angle B = \angle P \).

Однако, в условии сказано \( \angle A = \angle M \) и \( AC = MK \), \( AB = KP \). Это означает, что \( \triangle ABC \) равен \( \triangle MKP \) по признаку СУС.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle C = \angle P \) и \( \angle B = \angle K \).

Нам дано \( \angle C = 24^{\circ} \) и \( \angle B = 48^{\circ} \). Следовательно, \( \angle P = 24^{\circ} \) и \( \angle K = 48^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle PMK \). Угол \( \angle PMK \) соответствует углу \( \angle BAC \) или \( \angle A \).

В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle A \):

\( \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 24^{\circ} = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

Поскольку \( \triangle ABC = \triangle MKP \), то \( \angle A = \angle M \), \( \angle B = \angle K \), \( \angle C = \angle P \).

Нам нужно найти \( \angle PMK \). Это угол \( \angle M \) в \( \triangle PMK \).

Из условия \( \angle A = \angle M \). Мы нашли \( \angle A = 108^{\circ} \). Следовательно, \( \angle M = 108^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle PMK \). Из равенства треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle MKP \), мы имеем: \( \angle B = \angle K \) и \( \angle C = \angle P \). Но нам нужно \( \angle PMK \), которое соответствует \( \angle A \) в \( \triangle ABC \).

Из условия \( \angle A = \angle M \). Мы нашли \( \angle A = 108^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle PMK = \angle M = 108^{\circ} \).

Однако, давайте перечитаем условие. Нам дано, что \( AC = MK \), \( AB = KP \), \( \angle A = \angle M \). Это признаки равенства двух треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС). Следовательно, \( \triangle ABC \) = \( \triangle MKP \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle B = \angle K \) и \( \angle C = \angle P \). Нам дано \( \angle C = 24^{\circ} \) и \( \angle B = 48^{\circ} \).

В \( \triangle ABC \) сумма углов: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 24^{\circ} = 108^{\circ} \).

По условию \( \angle A = \angle M \). Значит \( \angle M = 108^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle PMK \). Это угол \( \angle M \) в \( \triangle PMK \).

Следовательно, \( \angle PMK = \angle A = 108^{\circ} \).

Ответ: 108°.