Известно, что AB = BC, ∠BCD = 115°. Найдите ∠ABD.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

В треугольнике BCD, \( \angle BCD = 115^{\circ} \). Так как \( \angle BCD \) является внешним углом треугольника ABC при вершине C, то \( \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC \).

Угол \( \angle BCA \) является смежным с \( \angle BCD \), поэтому \( \angle BCA = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).

Поскольку \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA = 65^{\circ} \).

Теперь найдём угол \( \angle ABC \) в треугольнике ABC:

\( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: 50.