Решение

Для решения этой задачи нам потребуется изобразить параллелепипед и построить указанные сечения, а затем доказать, что полученные фигуры являются параллелограммами.

a) Сечение плоскостью $$ABC_1$$

1. Изображение параллелепипеда
2. Построение сечения

   Сечение плоскостью $$ABC_1$$ представляет собой плоскость, проходящую через точки $$A$$, $$B$$ и $$C_1$$. Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат в плоскости основания $$ABCD$$, а точка $$C_1$$ лежит на верхнем основании $$A_1B_1C_1D_1$$, сечение будет включать отрезок $$AB$$ и диагональ боковой грани $$BC_1$$.

   Чтобы построить это сечение, соединим точки $$A$$ и $$B$$, а также точки $$B$$ и $$C_1$$. Далее, чтобы завершить сечение, нужно найти точку пересечения плоскости сечения с верхним основанием параллелепипеда. Так как плоскость сечения содержит прямую $$AB$$, параллельную $$C_1D_1$$, сечение будет пересекать верхнее основание по прямой, параллельной $$AB$$ и проходящей через точку $$C_1$$. Эта прямая пересечёт $$A_1D_1$$ в некоторой точке, назовём её $$D_1'$$

   Полученное сечение $$ABC_1D_1'$$ представляет собой четырёхугольник.

3. Доказательство, что $$ABC_1D_1'$$ - параллелограмм

   В параллелепипеде противоположные грани параллельны. Следовательно, плоскость $$ABC_1$$ параллельна плоскости, содержащей противоположную сторону параллелепипеда. Таким образом, $$AB \parallel C_1D_1'$$

   Так как $$AB = C_1D_1'$$, $$ABC_1D_1'$$ — параллелограмм.

б) Сечение плоскостью $$ACC_1$$

1. Изображение параллелепипеда
2. Построение сечения

   Сечение плоскостью $$ACC_1$$ представляет собой плоскость, проходящую через точки $$A$$, $$C$$ и $$C_1$$. Эта плоскость также будет содержать точку $$A_1$$. Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник $$ACC_1A_1$$.

3. Доказательство, что $$ACC_1A_1$$ - параллелограмм

   В параллелепипеде грани $$AA_1C_1C$$ являются параллелограммами по определению, так как противоположные стороны параллельны и равны.

   Следовательно, $$AA_1 \parallel CC_1$$ и $$AC \parallel A_1C_1$$, что означает, что $$ACC_1A_1$$ — параллелограмм.