Изобразите на плоскости геометрическое место точек $$M$$, находящихся в узлах сетки на расстоянии от точки $$A$$ меньшем, чем две клетки (рис. 11). Сколько всего таких точек?

Нам нужно найти все точки $$M$$ в узлах сетки, расстояние от которых до точки $$A$$ меньше двух клеток. Это означает, что расстояние должно быть строго меньше двух, а не равно двум. 1. Точки на расстоянии 1 клетка: * Вокруг точки $$A$$ есть 4 точки на расстоянии ровно 1 клетка: сверху, снизу, слева и справа. Все эти точки подходят, так как 1 < 2. 2. Точки на расстоянии больше 1 клетки, но меньше 2 клеток: * Рассмотрим точки, находящиеся на расстоянии $$\sqrt{2}$$ от точки $$A$$. Они расположены по диагонали от точки $$A$$. Таких точек 4: слева-сверху, справа-сверху, справа-снизу и слева-снизу. Так как $$\sqrt{2} \approx 1.41 < 2$$, все эти точки тоже подходят. 3. Точки на расстоянии 2 клетки: * Точки, которые расположены на расстоянии 2 клетки от точки $$A$$ (сверху, снизу, слева и справа) не подходят, так как расстояние должно быть строго меньше 2. 4. Точки на расстоянии больше $$\sqrt{2}$$, но меньше 2 клеток: * Точки, которые расположены на расстоянии $$\sqrt{5}$$ клеток от точки $$A$$ (1 клетка по горизонтали/вертикали и 2 клетки по вертикали/горизонтали) не подходят, так как $$\sqrt{5} \approx 2.23 > 2$$ Всего получаем 4 точки на расстоянии 1 и 4 точки на расстоянии $$\sqrt{2}$$. Следовательно, общее количество точек $$M$$, удовлетворяющих условию, равно $$4 + 4 = 8$$. Ответ: 8