Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что образованный этими высотами треугольник составляет три восьмых от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.

Пусть $$\alpha$$ - острый угол параллелограмма, а $$\beta$$ - тупой угол параллелограмма. Тогда $$alpha + \beta = 180^\circ$$. Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма, то есть $$\alpha$$.

Площадь треугольника, образованного высотами, равна $$\frac{3}{8}$$ площади параллелограмма. Обозначим стороны параллелограмма как a и b, а высоты, опущенные на эти стороны, как $$h_a$$ и $$h_b$$. Тогда площадь параллелограмма равна $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$.

Площадь треугольника, образованного высотами, равна $$\frac{1}{2} h_a h_b sin(\alpha)$$. По условию, $$\frac{1}{2} h_a h_b sin(\alpha) = \frac{3}{8} a h_a$$. Также $$\frac{1}{2} h_a h_b sin(\alpha) = \frac{3}{8} b h_b$$

Выразим $$h_b$$ через a и $$alpha$$: $$h_b = a sin(\alpha)$$. Тогда $$\frac{1}{2} h_a a sin(\alpha) sin(\alpha) = \frac{3}{8} a h_a$$.

Сократим на $$a h_a$$: $$\frac{1}{2} sin^2(\alpha) = \frac{3}{8}$$.

$$sin^2(\alpha) = \frac{3}{4}$$.

$$sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Следовательно, $$\alpha = 60^\circ$$.

Ответ: Острый угол параллелограмма равен 60°.