Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной трапеции под углом 45° к этому основанию проведён луч, который проходит через середину большей боковой стороны. Найдите меньшую боковую сторону этой трапеции, если её основания равны 3 и 5.

Разность оснований равна:

\[5-3=2\]

Пусть высота трапеции, то есть меньшая боковая сторона, равна \(h\). Горизонтальное расстояние от вершины прямого угла до середины большей боковой стороны равно половине разности оснований:

\[\frac{5-3}{2}=1\]

Луч образует с основанием угол \(45^\circ\), поэтому его вертикальный и горизонтальный приросты равны. До середины боковой стороны вертикальный прирост равен \(h/2\), а горизонтальный — 4? Рассмотрим координаты: середина большей боковой стороны имеет абсциссу \((3+5)/2=4\). Тогда по углу \(45^\circ\):

\[h-4=\frac{h}{2}\]

\[\frac{h}{2}=4,\qquad h=8\]

Ответ: 8.