Из точки О проведены перпендикуляры OQ, OR и ОТ к сторонам треугольника EFG. Они оказались равными друг другу. Периметр треугольника равен 94, а сторона EG разделена на два отрезка с известными длинами: EQ = 12, GQ = 25. Найдите длины сторон треугольника.

Поскольку перпендикуляры из точки О к сторонам треугольника равны, точка О является центром вписанной окружности. Следовательно, отрезки касательных, проведенных из одной вершины, равны. EQ = ER = 12, GQ = GT = 25. Пусть FT = FR = x. Периметр треугольника EFG = EQ + GQ + ER + FR + FT + ET = 12 + 25 + 12 + x + x + ET = 49 + 2x + ET = 94. Также, ET = EF - FT = EF - x. EF = ER + RF = 12 + x. FG = FQ + QG = FT + TQ = x + 25. EG = EQ + QG = 12 + 25 = 37. Подставляем EF и FG в уравнение периметра: 94 = (12 + x) + (x + 25) + 37. 94 = 74 + 2x. 2x = 20. x = 10. EF = 12 + 10 = 22. FG = 10 + 25 = 35. EG = 37.