Из точки М вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках С и D (D между М и С), касательная касается окружности в точке N. Найдите градусную меру угла NDC, если ∠NMC = 45°, ∠NCD = 36°.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем угол ∠MNC.

  Угол ∠NMC = 45° — это угол между касательной и секущей, проведенными из точки M к окружности. По свойству угла между касательной и секущей, он равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла. То есть: \[\angle NMC = \frac{1}{2} (дуга NC - дуга ND)\]

  Угол ∠NCD = 36° — это вписанный угол, опирающийся на дугу ND, следовательно, дуга ND равна удвоенному этому углу: \[дуга ND = 2 \cdot \angle NCD = 2 \cdot 36° = 72°\]

  Выразим дугу NC: \[45° = \frac{1}{2} (дуга NC - 72°)\] \[90° = дуга NC - 72°\] \[дуга NC = 90° + 72° = 162°\]

• Шаг 2: Найдем угол ∠DNC.

  Угол ∠DNC — вписанный, опирается на дугу DC. Дуга DC = дуга NC - дуга ND = 162° - 72° = 90°. Следовательно, \[\angle DNC = \frac{1}{2} \cdot дуга DC = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°\]

• Шаг 3: Найдем угол ∠NDC.

  Рассмотрим треугольник DNC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \[\angle NDC = 180° - \angle DNC - \angle NCD = 180° - 45° - 36° = 99°\]

Ответ: ∠NDC = 99°