18) Из точки М к окружности с центром О и радиусом, равным 4, проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания, если \(\angle AOB = 120^\circ\).

Так как МА и МВ - касательные к окружности, то углы \(\angle OAM\) и \(\angle OBM\) прямые, то есть равны 90°. Рассмотрим четырехугольник АОВМ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно: \(\angle AMB = 360^\circ - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как ОА = ОВ = радиусу окружности. Значит, углы \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\) равны. Тогда: \(\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ\) Рассмотрим треугольник АМВ. Так как МА = МВ (как касательные, проведенные из одной точки), то треугольник AMB равнобедренный, и углы \(\angle MAB\) и \(\angle MBA\) равны. Тогда: \(\angle MAB = \angle MBA = (180^\circ - \angle AMB) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ\) Теперь рассмотрим треугольник OAM. В нем известны ОА = 4 и \(\angle AOM = \angle AOB / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ\). Тогда можем найти AM: \(AM = OA \cdot tg(\angle AOM) = 4 \cdot tg(60^\circ) = 4 \sqrt{3}\) Рассмотрим треугольник АМВ. Проведем высоту МН. Она также является медианой и биссектрисой. Тогда АН = АВ / 2. В треугольнике AMH: \(AH = AM \cdot sin(\angle AMH) = AM \cdot sin(\angle AMB / 2) = 4 \sqrt{3} \cdot sin(30^\circ) = 4 \sqrt{3} \cdot (1/2) = 2 \sqrt{3}\) Тогда АВ = 2 * АН = 4 \sqrt{3} **Ответ: \(4\sqrt{3}\)**