1. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 21см, а их разность равна 11 см. Найдите расстояние от точки до прямой. 2. Сумма гипотенузы АС и катета СВ равна 16см, а их разность равна 4см. Найдите расстояние от точки С до катета АВ.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Сначала найдем длину перпендикуляра, а затем расстояние от точки С до катета АВ.

Пусть x - длина перпендикуляра, а y - длина наклонной.
Составим систему уравнений: \[\begin{cases} x + y = 21 \\ y - x = 11 \end{cases}\]
Сложим уравнения: \[2y = 32\]
Найдем y: \[y = 16\]
Подставим значение y в первое уравнение: \[x + 16 = 21\]
Найдем x: \[x = 5\]

Ответ: 5 см

Пусть AC - гипотенуза, а CB - катет.
Составим систему уравнений: \[\begin{cases} AC + CB = 16 \\ AC - CB = 4 \end{cases}\]
Сложим уравнения: \[2AC = 20\]
Найдем AC: \[AC = 10\]
Подставим значение AC в первое уравнение: \[10 + CB = 16\]
Найдем CB: \[CB = 6\]
Теперь найдем катет AB, используя теорему Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 - CB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]
Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
- Через катеты: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\)
- Через гипотенузу и высоту, опущенную на нее: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\), где h - расстояние от точки C до катета AB.
Приравняем оба выражения для площади: \[\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = 24\]
Найдем h: \[\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 24\] \[5h = 24\] \[h = \frac{24}{5} = 4.8\]

Ответ: 4.8 см