Из точки К, лежащей на окружности, опустили перпендикуляр КВ на диаметр МЕ. Точка В делит отрезок МЕ на два отрезка длиной 5 см и 7 см. Чему равен радиус окружности?

Пусть \(MB = 5\) см и \(BE = 7\) см. Тогда диаметр \(ME = MB + BE = 5 + 7 = 12\) см. Значит, радиус окружности равен половине диаметра: \(R = \frac{ME}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle KBE\). По теореме о свойстве высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, имеем: \(KB^2 = MB \cdot BE\). Подставляем известные значения: \(KB^2 = 5 \cdot 7 = 35\), отсюда \(KB = \sqrt{35}\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle KBO\). Пусть радиус окружности равен \(R\). Тогда \(OB = OE - BE = R - 7\). По теореме Пифагора для треугольника \(\triangle KBO\) имеем: \(KB^2 + OB^2 = KO^2\), где \(KO = R\) (радиус окружности).

Подставляем известные значения: \((\sqrt{35})^2 + (R - 7)^2 = R^2\). Раскрываем скобки: \(35 + R^2 - 14R + 49 = R^2\). Упрощаем уравнение: \(84 - 14R = 0\). Решаем относительно \(R\): \(14R = 84\), \(R = \frac{84}{14} = 6\) см.

Ответ: 6 см