Из точки F вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках C и D (D между F и C), касательная касается окружности в точке E. Найдите градусную меру угла ECD, если ∠EDC = 71°, ∠EFC = 36°.

Решение:

По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки, угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, высекаемых этими линиями. В нашем случае, \( \angle EFC \) — это угол между касательной \( FE \) и секущей \( FCD \).

\( \angle EFC = \frac{1}{2} ( \text{arc}(EC) - \text{arc}(DC) ) \)

Мы знаем, что \( \angle EFC = 36° \), следовательно:

\( 36° = \frac{1}{2} ( \text{arc}(EC) - \text{arc}(DC) ) \)

\( 72° = \text{arc}(EC) - \text{arc}(DC) \)

Теперь рассмотрим угол \( \angle EDC \). Этот угол является вписанным углом, опирающимся на дугу \( EC \). Следовательно, величина дуги \( EC \) равна удвоенной величине вписанного угла:

\( \text{arc}(EC) = 2 \cdot \angle EDC = 2 \cdot 71° = 142° \)

Подставим значение \( \text{arc}(EC) \) в предыдущее уравнение:

\( 72° = 142° - \text{arc}(DC) \)

\( \text{arc}(DC) = 142° - 72° = 70° \)

Нам нужно найти угол \( \angle ECD \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \( ED \). Чтобы найти \( \angle ECD \), нам нужно найти величину дуги \( ED \).

Угол \( \angle EFC = 36° \) также связан с дугами \( \text{arc}(EC) \) и \( \text{arc}(DC) \).

Рассмотрим угол \( \angle FDC \). В треугольнике \( FDC \) сумма углов равна \( 180° \).

Угол \( \angle FDC \) является смежным с углом \( \angle EDC = 71° \). Следовательно, \( \angle FDC = 180° - 71° = 109° \) (это неверно, \( \angle FDC \) не является смежным с \( \angle EDC \). \( \angle FDC \) и \( \angle EDC \) — это один и тот же угол, потому что точки F, D, C лежат на одной прямой).

Возвратимся к \( \angle EFC \). Это внешний угол треугольника \( EFD \) для угла \( \angle EFD \) не совсем так. \( F \) — точка вне окружности. \( FC \) — секущая, \( FE \) — касательная.

По теореме о касательной и секущей, угол \( \angle EFC \) равен полуразности дуг, заключённых между секущей и касательной. \( \angle EFC = \frac{1}{2} ( \text{arc}(EC) - \text{arc}(DC) ) \). Это уже было использовано.

Дано: \( \angle EDC = 71° \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \( EC \). Значит, \( \text{arc}(EC) = 2 \cdot 71° = 142° \).

Дано: \( \angle EFC = 36° \). \( \angle EFC = \frac{1}{2} ( \text{arc}(EC) - \text{arc}(DC) ) \). \( 36° = \frac{1}{2} ( 142° - \text{arc}(DC) ) \). \( 72° = 142° - \text{arc}(DC) \). \( \text{arc}(DC) = 142° - 72° = 70° \).

Нам нужно найти \( \angle ECD \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \( ED \).

Как найти \( \text{arc}(ED) \)?

Угол \( \angle EFD \) — это центральный угол, опирающийся на дугу \( ED \)? Нет.

Угол \( \angle EFD \) — это угол треугольника \( EFD \).

Рассмотрим треугольник \( EDC \). Мы знаем \( \angle EDC = 71° \) и \( \text{arc}(EC) = 142° \).

Угол \( \angle ECD \) — вписанный, опирающийся на дугу \( ED \).

Угол \( \angle CED \) — вписанный, опирающийся на дугу \( CD \). \( \text{arc}(CD) = 70° \). Значит \( \angle CED = \frac{1}{2} \text{arc}(CD) = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35° \).

Теперь в треугольнике \( EDC \) мы знаем два угла: \( \angle EDC = 71° \) и \( \angle CED = 35° \).

Сумма углов в треугольнике \( EDC \) равна \( 180° \).

\( \angle ECD + \angle EDC + \angle CED = 180° \)

\( \angle ECD + 71° + 35° = 180° \)

\( \angle ECD + 106° = 180° \)

\( \angle ECD = 180° - 106° \)

\( \angle ECD = 74° \)

Проверка:

Найдём \( \text{arc}(ED) \). Сумма дуг окружности равна \( 360° \).

\( \text{arc}(EC) + \text{arc}(CD) + \text{arc}(DE) = 360° \)

\( 142° + 70° + \text{arc}(DE) = 360° \)

\( 212° + \text{arc}(DE) = 360° \)

\( \text{arc}(DE) = 360° - 212° = 148° \)

Вписанный угол \( \angle ECD \) опирается на дугу \( ED \).

\( \angle ECD = \frac{1}{2} \text{arc}(ED) = \frac{1}{2} \cdot 148° = 74° \).

Результаты совпадают.

Ответ: 74°.