Из точки C окружности опущен перпендикуляр CD на её диаметр AB. AC = 6√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок AD на 10 см меньше отрезка BD.

Решение:

Обозначим радиус окружности как R. Тогда диаметр AB = 2R.

Из условия задачи имеем:

• AC = \( 6\sqrt{2} \) см.
• AD = BD - 10 см.
• AB = AD + DB = 2R.

В прямоугольном треугольнике ACB (угол ACB опирается на диаметр, следовательно, равен 90°), CD — высота, проведенная к гипотенузе. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\( CD^2 = AD \cdot DB \)

Также в прямоугольном треугольнике ACB:

\( AC^2 = AD \cdot AB \)

Подставим известные значения:

\( (6\sqrt{2})^2 = AD \cdot 2R \)

\( 36 \cdot 2 = AD \cdot 2R \)

\( 72 = AD \cdot 2R \)

\( AD = \frac{72}{2R} = \frac{36}{R} \)

Теперь используем условие AD = BD - 10. Отсюда BD = AD + 10.

Подставим AD в уравнение AB = AD + DB:

\( 2R = AD + (AD + 10) \)

\( 2R = 2AD + 10 \)

\( R = AD + 5 \)

Теперь подставим выражение для AD:

\( R = \frac{36}{R} + 5 \)

Умножим обе части на R (R > 0, так как это радиус):

\( R^2 = 36 + 5R \)

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

\( R^2 - 5R - 36 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \)

Найдем корни:

\( R_1 = \frac{-(-5) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( R_2 = \frac{-(-5) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Так как радиус не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

R = 9 см.

Ответ: 9 см.