Из точки A вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен 11°. Первая секущая пересекает окружность в точках $$K_1$$ и $$L_1$$, вторая – в точках $$K_2$$ и $$L_2$$, причем $$K_1L_1 = K_2L_2$$. Найдите меньшую дугу, заключенную между данными секущими, если дуга $$K_1L_1$$, меньшая полуокружности, равна 95°.

Пусть меньшая дуга, заключенная между секущими, это дуга $$K_2K_1$$. Обозначим её градусную меру как $$x$$. Так как $$K_1L_1 = K_2L_2$$, то дуги $$L_1K_2$$ и $$K_1L_2$$ равны между собой.

Угол между секущими, проведенными из точки A вне окружности, равен полуразности заключенных между ними дуг. В данном случае:

$$ \angle A = \frac{1}{2} | дуга \, L_1L_2 - дуга \, K_1K_2 | $$

Мы знаем, что $$\angle A = 11^\circ$$ и дуга $$K_1L_1 = 95^\circ$$. Также, дуга $$L_1L_2 = дуга \, L_1K_2 + дуга \, K_2L_2$$, а дуга $$K_1K_2 = x$$.

Так как $$K_1L_1 = K_2L_2$$, то дуги равны по градусной мере. Пусть дуга $$L_1K_2 = дуга \, K_1L_2 = y$$. Тогда $$дуга \, L_1L_2 = y + 95^\circ$$.

Получаем уравнение:

$$ 11^\circ = \frac{1}{2} | (y + 95^\circ) - x | $$ $$ 22^\circ = | y + 95^\circ - x | $$

Из условия равенства отрезков $$K_1L_1 = K_2L_2$$ следует равенство дуг, стягиваемых этими отрезками, то есть дуга $$K_1L_1$$ = дуга $$K_2L_2 = 95^\circ$$. Тогда вся окружность состоит из дуг $$K_1L_1$$, $$L_1K_2$$, $$K_2L_2$$ и $$L_2K_1$$ (или $$K_1L_2$$).

Сумма этих дуг равна 360°:

$$95^\circ + y + 95^\circ + y = 360^\circ$$ $$2y = 360^\circ - 190^\circ$$ $$2y = 170^\circ$$ $$y = 85^\circ$$

Теперь подставим $$y = 85^\circ$$ в уравнение с углом $$A$$:

$$22^\circ = | 85^\circ + 95^\circ - x |$$ $$22^\circ = | 180^\circ - x |$$

Возможны два случая:

1. $$180^\circ - x = 22^\circ$$, тогда $$x = 180^\circ - 22^\circ = 158^\circ$$.
2. $$180^\circ - x = -22^\circ$$, тогда $$x = 180^\circ + 22^\circ = 202^\circ$$.

Так как нас интересует меньшая дуга, то $$x = 158^\circ$$.

Ответ: 158°