16. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите расстояние от точки A до точки O, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 10.

Пусть B и C - точки касания. Тогда \( \angle BAO = \angle CAO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABO \), где \( \angle ABO = 90^\circ \). Мы знаем, что \( BO = 10 \) (радиус) и \( \angle BAO = 30^\circ \). Используем тангенс угла \( \angle BAO \):

\( \tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AB} \)

Тогда \( \tan(30^\circ) = \frac{10}{AB} \). Известно, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AB} \)

\( AB = 10\sqrt{3} \)

Теперь, используя теорему Пифагора для \( \triangle ABO \):

\( AO^2 = AB^2 + BO^2 \)

\( AO^2 = (10\sqrt{3})^2 + 10^2 \)

\( AO^2 = 300 + 100 = 400 \)

\( AO = \sqrt{400} = 20 \)

Ответ: **20**