3. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 8.

Дано: Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O, \(\angle\) между касательными равен 60°, расстояние от точки A до точки O равно 8. Найти: Радиус окружности R. Решение: 1. Пусть B и C – точки касания. Тогда \(OB \perp AB\) и \(OC \perp AC\), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. 2. Рассмотрим четырехугольник ABOC. \(\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ\). \(\angle BAC = 60^\circ\) (по условию). Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно, \(\angle BOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 3. Рассмотрим \(\triangle ABO\). Он прямоугольный, так как \(\angle ABO = 90^\circ\). \(AO\) – гипотенуза, \(OB\) – катет, равный радиусу окружности. \(\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\), так как AO - биссектриса угла BAC. 4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(OB = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\). Таким образом, радиус окружности равен 4. Ответ: Радиус окружности равен \(\bf{4}\).