Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (С и В-точки касания). Найдите периметр треугольника АВС, если ДВОС = 60°, OA = 12 см.

1. Углы ABO и ACO прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания.
2. Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, ∠BOA = ∠COA = ∠BOC / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. В прямоугольном треугольнике ABO: \[\sin(\angle BOA) = \frac{AB}{OA}\] \[AB = OA \cdot \sin(\angle BOA)\] Так как ∠BOA = 30°, то \[AB = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}\] Поскольку AB = AC (касательные, проведенные из одной точки), то AC = 6 см.
4. Найдем радиус OB: \[\cos(\angle BOA) = \frac{OB}{OA}\] \[OB = OA \cdot \cos(\angle BOA)\] \[OB = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]
5. Треугольник BOC равнобедренный (OB = OC). Угол BOC равен 60°, значит, треугольник BOC равносторонний, и BC = OB = OC = 6√3 см.
6. Периметр треугольника ABC: \[P_{ABC} = AB + AC + BC = 6 + 6 + 6\sqrt{3} = 12 + 6\sqrt{3} = 6(2 + \sqrt{3}) \text{ см}\]

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 6(2 + √3) см.