Из точки \(M\) к окружности с центром \(O\) проведены касательные \(MA\) и \(MB\). Найдите расстояние между точками касания \(A\) и \(B\), если \(\angle AOB = 120^\circ\) и \(MO = 22\).

1) Так как \(MA\) и \(MB\) - касательные, то \(OA \perp MA\) и \(OB \perp MB\). Следовательно, \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\).

2) Рассмотрим четырехугольник \(AOBM\). \(\angle AOB + \angle OAM + \angle OBM + \angle AMB = 360^\circ\). \(120^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle AMB = 360^\circ\). \(\angle AMB = 60^\circ\).

3) Рассмотрим треугольники \(\triangle OAM\) и \(\triangle OBM\). Они прямоугольные, \(OA = OB = r\), \(OM\) - общая сторона. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, \(\angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \angle AMB = 30^\circ\).

4) В прямоугольном треугольнике \(OAM\): \(\sin(\angle AMO) = \frac{OA}{OM}\). \(\sin(30^\circ) = \frac{OA}{22}\). \(\frac{1}{2} = \frac{OA}{22}\). \(OA = 11\).

5) Рассмотрим треугольник \(AOB\). Он равнобедренный, так как \(OA = OB\). \(\angle AOB = 120^\circ\). Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\).

6) По теореме синусов для треугольника \(AOB\):

$$\frac{AB}{\sin(\angle AOB)} = \frac{OA}{\sin(\angle OBA)}$$ $$\frac{AB}{\sin(120^\circ)} = \frac{11}{\sin(30^\circ)}$$ $$AB = \frac{11 \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 11\sqrt{3}$$

Ответ: \(11\sqrt{3}\)