Из точки \(A\) окружности проведены две хорды \(AB\) и \(AC\) и касательная \(AM\). Известно, что \(\angle BAM = 63^\circ\), \(\angle CAM = 119^\circ\). Найдите угол \(ACB\).

Решение:

• Дано: \(\angle BAM = 63^\circ\), \(\angle CAM = 119^\circ\)
• Найти: \(\angle ACB\)

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними.

• \(\angle BAM = 63^\circ\), следовательно, дуга \(AB = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ\)
• \(\angle CAM = 119^\circ\), следовательно, дуга \(AC = 2 \cdot 119^\circ = 238^\circ\)

Угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Если продолжить касательную \(AM\) за точку \(A\), то образуется развернутый угол в \(180^\circ\). Поэтому для угла \(BAC\) справедливо:

• \(\angle BAC = \angle CAM - \angle BAM = 119^\circ - 63^\circ = 56^\circ\)

Угол \(ACB\) является вписанным и опирается на дугу \(AB\). Следовательно, он равен половине градусной меры этой дуги:

• \(\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot (238^\circ - 126^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 112^\circ = 56^\circ\)