Из точки \( A \), лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки \( A \) до точки касания равно 16, а расстояние от точки \( A \) до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до секущей равно 5.

Решение:

1. Пусть \( O \) – центр окружности, \( B \) – точка касания, \( C \) – точка пересечения секущей с окружностью, ближайшая к точке \( A \), \( D \) – вторая точка пересечения секущей с окружностью, \( M \) – середина хорды \( CD \). Тогда \( AM \) перпендикулярна \( CD \).
2. По теореме о касательной и секущей, имеем: \( AB^2 = AC \cdot AD \). Знаем, что \( AB = 16 \) и \( AC = 32 \). Тогда \( 16^2 = 32 \cdot AD \), откуда \( AD = \frac{16^2}{32} = \frac{256}{32} = 8 \).
3. Следовательно, длина всей секущей \( CD = AD - AC \) не может быть отрицательной, следовательно, условие задачи некорректно. Но будем считать, что \( AC=8 \) и \( AD =32 \). Тогда, \( CD = AD - AC = 32 - 8 = 24 \).
4. Так как \( M \) – середина \( CD \), то \( CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OMC \), в котором \( OM = 5 \), \( MC = 12 \). По теореме Пифагора, \( OC^2 = OM^2 + MC^2 \), где \( OC \) – радиус окружности \( R \). Тогда \( R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \), откуда \( R = \sqrt{169} = 13 \).

Ответ: 13