15 Из пункта А в пункт В, удалённый от него на расстояние 180 км, от- правился почтовый фургон. Через 30 мин вслед за ним выехал со скоростью 50 км/ч мотоциклист, который, догнав фургон, передал > дополнительную почту и, повернув обратно, прибыл в А одновре- менно с прибытием фургона в В. Определите скорость фургона. За- пишите решение и ответ. Решение.

Ответ: 40 км/ч

Решение:

• Пусть v - скорость фургона (км/ч).
• Фургон выехал на 0.5 часа раньше мотоциклиста.
• Пусть t - время в пути фургона до прибытия в пункт B (в часах). Тогда расстояние от A до B равно vt = 180.
• Мотоциклист выехал через 0.5 часа и догнал фургон, затем вернулся обратно в A.
• Пусть t_m - время, которое мотоциклист был в пути. Тогда время, которое фургон был в пути до встречи с мотоциклистом, равно t_m + 0.5.
• Путь, проделанный фургоном до встречи, равен v(t_m + 0.5).
• Путь, проделанный мотоциклистом до встречи, равен 50t_m.
• В момент встречи они находятся в одной точке, следовательно: v(t_m + 0.5) = 50t_m.
• Мотоциклист вернулся в A одновременно с прибытием фургона в B. Значит, общее время движения фургона равно времени движения мотоциклиста туда и обратно: t = t_m + (50t_m)/50 = 2t_m + 0.5.

Теперь у нас есть система уравнений:

• vt = 180
• v(t_m + 0.5) = 50t_m
• t = 2t_m + 0.5

Решим эту систему уравнений:

• Выразим t_m через t: t_m = (t - 0.5) / 2.
• Подставим t_m во второе уравнение: v((t - 0.5) / 2 + 0.5) = 50((t - 0.5) / 2).
• Упростим: v(t/2 + 0.25) = 25t - 12.5.
• Умножим обе части на 2: v(t + 0.5) = 50t - 25.
• Теперь используем первое уравнение vt = 180, тогда t = 180/v.
• Подставим t в последнее уравнение: v(180/v + 0.5) = 50(180/v) - 25.
• Упростим: 180 + 0.5v = 9000/v - 25.
• Умножим обе части на v: 180v + 0.5v² = 9000 - 25v.
• Приведем к квадратному уравнению: 0.5v² + 205v - 9000 = 0.
• Умножим на 2: v² + 410v - 18000 = 0.

Решим квадратное уравнение:

\[D = 410^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18000) = 168100 + 72000 = 240100\]

\[\sqrt{D} = 490\]

\[v = \frac{-410 \pm 490}{2}\]

Берем положительное значение:

\[v = \frac{-410 + 490}{2} = \frac{80}{2} = 40\]

• Таким образом, скорость фургона v = 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч