Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 297 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (в км/ч). Тогда скорость катера по течению равна $$v + 2$$ км/ч, а против течения – $$v - 2$$ км/ч. Время, затраченное на путь из А в В (по течению): \[t_1 = \frac{297}{v + 2}\] Время, затраченное на путь из В в А (против течения): \[t_2 = \frac{297}{v - 2}\] Из условия задачи известно, что на обратный путь катер затратил на 3 часа меньше, то есть: \[t_1 + 3 = t_2\] Подставим выражения для $$t_1$$ и $$t_2$$: \[\frac{297}{v + 2} + 3 = \frac{297}{v - 2}\] Умножим обе части уравнения на $$(v + 2)(v - 2)$$, чтобы избавиться от знаменателей: \[297(v - 2) + 3(v + 2)(v - 2) = 297(v + 2)\] Раскроем скобки: \[297v - 594 + 3(v^2 - 4) = 297v + 594\] \[297v - 594 + 3v^2 - 12 = 297v + 594\] Упростим и приведем подобные члены: \[3v^2 - 606 - 594 = 0\] \[3v^2 - 1200 = 0\] \[3v^2 = 1200\] \[v^2 = 400\] Извлечем квадратный корень: \[v = \pm 20\] Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 20$$ км/ч. Ответ: 20