Из посёлка А в посёлок В, расстояние между которыми равно 24 км, выехал грузовик, а через 6 минут следом за ним выехал автобус, скорость которого на 12 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость автобуса, если в посёлок В он прибыл одновременно с грузовиком. Ответ дайте в км/ч.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 24 км
• Разница во времени: 6 минут = 0.1 часа
• Разница в скорости: 12 км/ч

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем переменные. Пусть \( v_г \) — скорость грузовика (км/ч), а \( v_а \) — скорость автобуса (км/ч).
2. Шаг 2: Записываем соотношение скоростей. Мы знаем, что скорость автобуса на 12 км/ч больше скорости грузовика: \( v_а = v_г + 12 \).
3. Шаг 3: Записываем время в пути для каждого. Время в пути для грузовика: \( t_г = \frac{S}{v_г} = \frac{24}{v_г} \) часа.
4. Шаг 4: Автобус выехал на 6 минут (0.1 часа) позже. Время в пути для автобуса: \( t_а = t_г - 0.1 = \frac{24}{v_г} - 0.1 \) часа.
5. Шаг 5: Записываем время в пути для автобуса через его скорость. Также \( t_а = \frac{S}{v_а} = \frac{24}{v_а} = \frac{24}{v_г + 12} \) часа.
6. Шаг 6: Составляем уравнение, приравнивая выражения для \( t_а \). \( \frac{24}{v_г + 12} = \frac{24}{v_г} - 0.1 \)
7. Шаг 7: Решаем уравнение относительно \( v_г \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{24 · v_г}{(v_г + 12) · v_г} = \frac{24 · (v_г + 12) - 0.1 · v_г · (v_г + 12)}{(v_г + 12) · v_г} \) Убираем знаменатели: \( 24 v_г = 24 v_г + 288 - 0.1 v_г^2 - 1.2 v_г \) Переносим всё в одну сторону: \( 0.1 v_г^2 + 1.2 v_г - 288 = 0 \) Умножаем на 10 для удобства: \( v_г^2 + 12 v_г - 2880 = 0 \)
8. Шаг 8: Находим дискриминант и корни квадратного уравнения. \( D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 · 1 · (-2880) = 144 + 11520 = 11664 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{11664} = 108 \) \( v_{г1} = \frac{-12 + 108}{2} = \frac{96}{2} = 48 \) \( v_{г2} = \frac{-12 - 108}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \) Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_г = 48 \) км/ч.
9. Шаг 9: Находим скорость автобуса. \( v_а = v_г + 12 = 48 + 12 = 60 \) км/ч.

Ответ: 60 км/ч