Из отрезка прямой задан отрезок P = [315; 415]. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального А выражение (¬ДЕЛ(x, A) ∨ (x ∈ P → (¬ДЕЛ(x, 191) ∨ (x + A ≤ 4113)))) тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х?

Решение:

Логическое выражение должно быть истинно для любого натурального \( x \). Разберём его по частям:

1. \( \neg ДЕЛ(x, A) \): \( x \) не делится на \( A \).
2. \( x \in P \): \( 315 \le x \le 415 \).
3. \( \neg ДЕЛ(x, 191) \): \( x \) не делится на \( 191 \).
4. \( x + A \le 4113 \)

Выражение имеет вид \( \neg F(x) \lor (G(x) \rightarrow (H(x) \lor K(x, A))) \). Для того чтобы оно было истинно при любом \( x \), рассмотрим два случая:

1. Если \( x \) не принадлежит отрезку \( P \) (т.е. \( x < 315 \) или \( x > 415 \)), то \( G(x) \) ложно, и вся импликация \( G(x) \rightarrow \dots \) истинна. В этом случае выражение истинно независимо от \( A \).
2. Если \( x \) принадлежит отрезку \( P \) (т.е. \( 315 \le x \le 415 \)), то \( G(x) \) истинно. Тогда для истинности всего выражения необходимо, чтобы \( H(x) \lor K(x, A) \) было истинно, то есть \( \neg ДЕЛ(x, 191) \lor (x + A \le 4113) \) было истинно.

Нам нужно найти наибольшее \( A \), при котором выражение истинно для всех \( x \) из отрезка \( P \). Это означает, что для всех \( x \) из \( [315, 415] \) должно выполняться условие \( \neg ДЕЛ(x, 191) \lor (x + A \le 4113) \).

Рассмотрим числа на отрезке \( [315, 415] \) и их делимость на \( 191 \). Единственное число, делящееся на \( 191 \) в этом отрезке, это \( 191 \) (но оно меньше \( 315 \)) или \( 191 \times 2 = 382 \).

Если \( x = 382 \), то \( \neg ДЕЛ(382, 191) \) — ложно. Значит, для истинности выражения необходимо, чтобы \( x + A \le 4113 \) было истинно.

Подставляем \( x = 382 \): \( 382 + A \le 4113 \). Отсюда \( A \le 4113 - 382 = 3731 \).

Теперь проверим, будет ли это \( A \) работать для других \( x \) из отрезка \( P \).

Если \( x \) не делится на \( 191 \) (например, \( x = 315 \)), то \( \neg ДЕЛ(315, 191) \) истинно, и вся дизъюнкция истинна.

Если \( x = 382 \), то \( \neg ДЕЛ(382, 191) \) ложно, но \( 382 + A = 382 + 3731 = 4113 \), что удовлетворяет условию \( x + A \le 4113 \).

Чтобы найти наибольшее \( A \), нужно рассмотреть наихудший случай, когда \( x \) делится на \( 191 \). В нашем отрезке это \( x = 382 \). Для этого \( x \) условие \( x + A \le 4113 \) должно быть выполнено. Максимальное \( A \) получаем, когда \( x + A = 4113 \), то есть \( A = 4113 - x \). Чтобы \( A \) было наибольшим, \( x \) должно быть наименьшим среди тех, для которых \( \neg ДЕЛ(x, 191) \) ложно. В отрезке \( [315, 415] \) такое \( x \) — это \( 382 \).

Следовательно, \( A = 4113 - 382 = 3731 \).

Ответ: 3731