Из одной точки окружности провели диаметр и хорду, равную радиусу. Какой угол они образуют?

Ответ: 30°

Решение:

Пусть дана окружность с центром в точке O. Из точки A на окружности проведен диаметр AB и хорда AC, равная радиусу AO.

Рассмотрим треугольник AOC. Так как AO = OC = AC (по условию, AC равна радиусу), треугольник AOC — равносторонний.

Следовательно, все углы в треугольнике AOC равны 60 градусам: ∠AOC = ∠OCA = ∠OAC = 60°.

Теперь рассмотрим угол между диаметром AB и хордой AC, то есть угол ∠BAC. Этот угол является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу BC, равен углу ∠BOC. Угол ∠BOC является смежным с углом ∠AOC, поэтому:

∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 60° = 120°.

Вписанный угол ∠BAC равен половине центрального угла ∠BOC, опирающегося на ту же дугу BC:

∠BAC = 1/2 ∠BOC = 1/2 ⋅ 120° = 60°/2 = 30°

Ответ: 30°