Из 40 учащихся класса каждый изучает хотя бы один иностранный язык — английский или немецкий. Известно, что 10 учащихся изучают английский язык, а 40 учащихся — немецкий язык. Ответь на вопросы (в каждое окошко запиши только число).

1. Сколько учащихся изучают оба языка — английский и немецкий?

Решение:

Обозначим:

• \[ A \] — множество учащихся, изучающих английский язык.
• \[ N \] — множество учащихся, изучающих немецкий язык.
• \[ |A| \] — количество учащихся, изучающих английский язык.
• \[ |N| \] — количество учащихся, изучающих немецкий язык.
• \[ |A \cup N| \] — общее количество учащихся, изучающих хотя бы один язык.
• \[ |A \cap N| \] — количество учащихся, изучающих оба языка.

По условию:

• \[ |A| = 10 \]
• \[ |N| = 40 \]
• \[ |A \cup N| = 40 \] (так как каждый изучает хотя бы один язык, и общее число учащихся в классе — 40).

Используем формулу включения-исключения:

\[ |A \cup N| = |A| + |N| - |A \cap N| \]

Подставляем известные значения:

\[ 40 = 10 + 40 - |A \cap N| \]

\[ 40 = 50 - |A \cap N| \]

Отсюда находим количество учащихся, изучающих оба языка:

\[ |A \cap N| = 50 - 40 \]

\[ |A \cap N| = 10 \]

Ответ: 10

2. Сколько процентов учащихся изучают оба языка?

Решение:

Чтобы найти процент учащихся, изучающих оба языка, нужно разделить количество учащихся, изучающих оба языка, на общее количество учащихся в классе и умножить на 100%.

\[ \text{Процент} = \frac{|A \cap N|}{|A \cup N|} \times 100\% \]

\[ \text{Процент} = \frac{10}{40} \times 100\% \]

\[ \text{Процент} = \frac{1}{4} \times 100\% \]

\[ \text{Процент} = 25\% \]

Ответ: 25