Ів. ~1 x²-5x-36<0 x²+ 7x-30≥0 -3x²+4x+4>0 ~2 (3x+1)(x-2)<6 3x²-11 <10-37-x² 8 ~3.2x²+x-6≤0. x > 0 x²+6x-40<0 x²+3x-18≥0

Решение неравенств.

№1

• $$x^2 - 5x - 36 < 0$$
  Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $$x^2 - 5x - 36 = 0$$.
  По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 5$$, $$x_1 \cdot x_2 = -36$$.
  Корни: $$x_1 = 9$$, $$x_2 = -4$$.
  Тогда неравенство можно переписать как $$(x - 9)(x + 4) < 0$$.
  Решением этого неравенства является интервал $$(-4; 9)$$.
• $$x^2 + 7x - 30 \ge 0$$
  Найдем корни уравнения $$x^2 + 7x - 30 = 0$$.
  По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -7$$, $$x_1 \cdot x_2 = -30$$.
  Корни: $$x_1 = -10$$, $$x_2 = 3$$.
  Тогда неравенство можно переписать как $$(x + 10)(x - 3) \ge 0$$.
  Решением этого неравенства являются интервалы $$(-\infty; -10]$$ и $$[3; +\infty)$$.
• $$-3x^2 + 4x + 4 > 0$$
  Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $$3x^2 - 4x - 4 < 0$$
  Найдем корни уравнения $$3x^2 - 4x - 4 = 0$$.
  $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$
  $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$
  $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$
  Тогда неравенство можно переписать как $$3(x - 2)(x + \frac{2}{3}) < 0$$.
  Решением этого неравенства является интервал $$(-\frac{2}{3}; 2)$$.

№2

• $$(3x + 1)(x - 2) < 6$$
  Раскроем скобки и перенесем все в левую часть: $$3x^2 - 6x + x - 2 - 6 < 0$$
  $$3x^2 - 5x - 8 < 0$$
  Найдем корни уравнения $$3x^2 - 5x - 8 = 0$$
  $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$$
  $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$
  $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$
  Тогда неравенство можно переписать как $$3(x - \frac{8}{3})(x + 1) < 0$$
  Решением этого неравенства является интервал $$(-1; \frac{8}{3})$$.
• $$\frac{3x^2 - 11}{8} < 10 - \frac{37 - x^2}{6}$$
  Умножим обе части на 24, чтобы избавиться от дробей:
  $$3(3x^2 - 11) < 240 - 4(37 - x^2)$$.
  $$9x^2 - 33 < 240 - 148 + 4x^2$$
  $$5x^2 < 125$$
  $$x^2 < 25$$
  $$-5 < x < 5$$
  Решением этого неравенства является интервал $$(-5; 5)$$.

№3

• $$\begin{cases}x^2 + x - 6 \le 0 \\ x > 0\end{cases}$$
  Решим неравенство $$x^2 + x - 6 \le 0$$.
  Найдем корни уравнения $$x^2 + x - 6 = 0$$.
  По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -1$$, $$x_1 \cdot x_2 = -6$$.
  Корни: $$x_1 = -3$$, $$x_2 = 2$$.
  Тогда неравенство можно переписать как $$(x + 3)(x - 2) \le 0$$.
  Решением этого неравенства является отрезок $$[-3; 2]$$.
  Учитывая условие $$x > 0$$, получаем решение $$x \in (0; 2]$$.
• $$\begin{cases}2x^2 + 13x - 74 \ge 0 \\ 15 - 3x \le 0\end{cases}$$
  Решим неравенство $$15 - 3x \le 0$$:
  $$-3x \le -15$$
  $$x \ge 5$$
  Теперь решим неравенство $$2x^2 + 13x - 74 \ge 0$$.
  Найдем корни уравнения $$2x^2 + 13x - 74 = 0$$.
  $$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-74) = 169 + 592 = 761$$
  $$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{761}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + \sqrt{761}}{4} \approx 3.9$$
  $$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{761}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - \sqrt{761}}{4} \approx -10.4$$
  Тогда неравенство можно переписать как $$2(x - \frac{-13 + \sqrt{761}}{4})(x - \frac{-13 - \sqrt{761}}{4}) \ge 0$$.
  Решением этого неравенства являются интервалы $$(-\infty; \frac{-13 - \sqrt{761}}{4}]$$ и $$[\frac{-13 + \sqrt{761}}{4}; +\infty)$$.
  Учитывая условие $$x \ge 5$$, получаем решение $$x \in [5; +\infty)$$.

• $$\begin{cases}x^2 + 6x - 40 < 0 \\ x^2 + 3x - 18 \ge 0\end{cases}$$
  Решим неравенство $$x^2 + 6x - 40 < 0$$.
  Найдем корни уравнения $$x^2 + 6x - 40 = 0$$.
  $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196$$
  $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
  $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 14}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$
  Тогда неравенство можно переписать как $$(x - 4)(x + 10) < 0$$.
  Решением этого неравенства является интервал $$(-10; 4)$$.
  Решим неравенство $$x^2 + 3x - 18 \ge 0$$.
  Найдем корни уравнения $$x^2 + 3x - 18 = 0$$.
  По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -3$$, $$x_1 \cdot x_2 = -18$$.
  Корни: $$x_1 = -6$$, $$x_2 = 3$$.
  Тогда неравенство можно переписать как $$(x + 6)(x - 3) \ge 0$$.
  Решением этого неравенства являются интервалы $$(-\infty; -6]$$ и $$[3; +\infty)$$.
  Решением системы является объединение интервалов $$(-10; -6] \cup [3; 4)$$.

Ответ: Решения указаны выше.