Иван в течение года должен написать 5 контрольных по теории вероятностей. Он всегда выполняет все домашние задания и поэтому может получить отметку 5 за каждую из контрольных работ с одинаковой вероятностью 0,8. Найди вероятность, что за первую и последнюю контрольные работы Иван всё же не сможет получить отметку 5.

Решение:

Обозначим событие \(A\) как получение отметки 5 за контрольную работу. Вероятность этого события \(P(A) = 0.8\).

Обозначим событие \(\overline{A}\) как неполучение отметки 5 за контрольную работу. Вероятность этого события \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2\).

Нас интересует вероятность того, что Иван не получит отметку 5 за первую контрольную работу И не получит отметку 5 за последнюю контрольную работу. Так как контрольные работы независимы, вероятности перемножаются.

Вероятность неполучения отметки 5 за первую работу: \(P(\overline{A}_1) = 0.2\).

Вероятность неполучения отметки 5 за последнюю работу (пятую): \(P(\overline{A}_5) = 0.2\).

Вероятность того, что за первую И последнюю работы Иван не получит отметку 5, равна произведению вероятностей этих независимых событий:

\[ P(\overline{A}_1 \text{ и } \overline{A}_5) = P(\overline{A}_1) \times P(\overline{A}_5) = 0.2 \times 0.2 = 0.04 \]

Ответ: 0.04