Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаИтоговый тест по геометрии за 7 класс Вариант 1
Ответ:
Вариант 1
Дано: \( \angle 1 = 53^{\circ} \)
Найти: \( \angle 2 \)
Решение: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные углы. Их сумма равна \( 180^{\circ} \).
\( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 53^{\circ} = 127^{\circ} \)
Ответ: \( 127^{\circ} \)
Дано: \( \angle 1 = 152^{\circ} \)
Найти: \( \angle 2 \)
Решение: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — вертикальные углы. Вертикальные углы равны.
\( \angle 2 = \angle 1 = 152^{\circ} \)
Ответ: \( 152^{\circ} \)
Вопрос: Через две любые точки А и В можно провести:
Ответ: 2) только одну прямую
Дано: прямые \( a \) и \( b \), \( \angle 1 = 47^{\circ} \)
Найти: \( \angle 2 \)
Решение: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие углы при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей. Так как \( a \) || \( b \), то \( \angle 2 = \angle 1 = 47^{\circ} \).
Ответ: \( 47^{\circ} \)
Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 36^{\circ} \), \( AC = BC \)
Найти: \( \angle B \)
Решение: Так как \( AC = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle A = \angle B = 36^{\circ} \).
Ответ: \( 36^{\circ} \)
Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 50^{\circ} \), \( AC = BC \)
Найти: \( \angle A \)
Решение: Так как \( AC = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
\( 2\angle A + 50^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( 2\angle A = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \)
\( \angle A = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ} \)
Ответ: \( 65^{\circ} \)
Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^{\circ} \), \( \angle C = 42^{\circ} \)
Найти: \( \angle B \)
Решение: Сумма углов прямоугольного треугольника равна \( 180^{\circ} \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
\( 90^{\circ} + \angle B + 42^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ} \)
Ответ: \( 48^{\circ} \)
Вариант 2
Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle 1 = 47^{\circ} \), \( \angle 2 = 132^{\circ} \)
Найти: \( \angle 3 \)
Решение: \( \angle 2 \) — внешний угол треугольника. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — внутренние углы, не смежные с \( \angle 2 \). Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
\( \angle 2 = \angle 1 + \angle 3 \)
\( 132^{\circ} = 47^{\circ} + \angle 3 \)
\( \angle 3 = 132^{\circ} - 47^{\circ} = 85^{\circ} \)
Ответ: \( 85^{\circ} \)
Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^{\circ} \), \( AB = 4 \), \( CH = 8 \) (где \( H \) — точка на \( AB \) или её продолжении)
Найти: \( \angle B \)
Решение: В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^{\circ} \). \( CH \) — высота, опущенная на гипотенузу (или её продолжение). Это условие не даёт однозначного ответа для \( \angle B \) без дополнительной информации о точке \( H \) или других сторонах/углах. Если предположить, что \( CH \) — высота, опущенная из \( C \) на \( AB \), то \( H \) совпадает с \( A \) (так как \( \angle A = 90^{\circ} \)), и \( CH = CA = 8 \). Тогда в \( \triangle ABC \): \( \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{4} = 2 \). \( \angle B = \arctan(2) \approx 63.4^{\circ} \). Если \( CH \) — высота, опущенная на гипотенузу \( BC \), то \( H \) — точка на \( BC \). В данном случае \( AB=4, AC=8 \), \( BC = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \). Высота \( CH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 8}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3.58 \). Условие \( CH=8 \) противоречит этому. Предположим, что \( CH=8 \) — это \( AC=8 \), тогда \( \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{4} = 2 \).
Ответ: \( \approx 63.4^{\circ} \) (при условии \( AC=8 \))
Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^{\circ} \), \( BC = 12 \), \( AC = ? \), \( AB = ? \)
Найти: \( AB \)
Решение: Для нахождения \( AB \) нужно знать \( \angle B \) или \( AC \). Если предположить, что \( AC = 12 \) (хотя в условии указано \( BC = 12 \)), то \( AB \) нельзя найти. Если \( BC = 12 \) — гипотенуза, то \( AB^2 + AC^2 = BC^2 = 12^2 = 144 \). Недостаточно данных.
Ответ: Недостаточно данных
Вопрос: Треугольника, с такими сторонами не существует.
Ответ: a) 1:2:8: (сумма двух сторон должна быть больше третьей: \( 1+2=3 < 8 \))
Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, внешний угол при вершине \( B \) равен \( 135^{\circ} \)
Найти: \( \angle C \)
Решение: Внутренний угол \( \angle B \) смежен с внешним: \( \angle B = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, возможны два случая: \( AB=BC \) или \( AB=AC \) или \( BC=AC \). Если \( AB=BC \), то \( \angle A = \angle C = 45^{\circ} \). Сумма углов: \( 45^{\circ} + 45^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ} \) - не треугольник. Если \( AB=AC \), то \( \angle B = \angle C = 45^{\circ} \). Тогда \( \angle A = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \). Если \( BC=AC \), то \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \). Тогда \( \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \). В условии сказано, что внешний угол при вершине \( B \) равен \( 135^{\circ} \), значит \( \angle B = 45^{\circ} \). Если \( \triangle ABC \) равнобедренный, то углы при основании равны. Если \( AB=BC \), то \( \angle A = \angle C \). Угол при вершине \( B \) = \( 45^{\circ} \). Тогда \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \). \( \angle A = \angle C = 67.5^{\circ} \). Если \( AB = AC \), то \( \angle B = \angle C = 45^{\circ} \). Тогда \( \angle A = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \). Это соответствует условию. Если \( BC = AC \), то \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \). Тогда \( \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \). Оба случая \( \angle C=45^{\circ} \) или \( \angle C=90^{\circ} \) возможны. По рисунку \( \angle B \) - острый. Если внешний угол при \( B \) = \( 135^{\circ} \), то \( \angle B = 45^{\circ} \). Поскольку треугольник равнобедренный, то либо \( \angle A = \angle C = 45^{\circ} \) (тогда \( \angle B = 90^{\circ} \) - противоречие), либо \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \) (тогда \( \angle C = 90^{\circ} \) ), либо \( \angle C = \angle B = 45^{\circ} \) (тогда \( \angle A = 90^{\circ} \) ). Судя по рисунку, \( \angle C \) — острый. Предположим, что \( AB = AC \), тогда \( \angle B = \angle C = 45^{\circ} \).
Ответ: \( 45^{\circ} \)
Дано: \( OA, OB \) — радиусы окружности, \( \angle ABO = 25^{\circ} \)
Найти: \( \angle AOB \)
Решение: \( \triangle OAB \) — равнобедренный, так как \( OA = OB \) (радиусы). Следовательно, \( \angle OAB = \angle OBA = 25^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)
\( \angle AOB + 25^{\circ} + 25^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \angle AOB = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \)
Ответ: \( 130^{\circ} \)
Вопрос: По данным рисунка докажите, что треугольники \( CVM \) и \( KMN \) равны.
Решение: Для доказательства равенства треугольников \( CVM \) и \( KMN \) нужны дополнительные данные или обозначения на рисунке (например, равенство сторон или углов).
Ответ: Недостаточно данных для доказательства.
Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( \angle B = 36^{\circ} \). \( AM \) и \( CM \) — биссектрисы углов \( A \) и \( C \) соответственно. \( AM \) и \( CM \) пересекаются в точке \( M \).
Найти: \( \angle AMC \)
Решение: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \), \( \angle B = 36^{\circ} \). Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2} = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ} \). \( AM \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит \( \angle BAM = \angle MAC = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \). \( CM \) — биссектриса \( \angle BCA \), значит \( \angle BCM = \angle MCA = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \). Рассмотрим \( \triangle AMC \). Угол \( \angle MAC = 36^{\circ} \), \( \angle MCA = 36^{\circ} \). \( \triangle AMC \) — равнобедренный, \( AM = MC \). \( \angle AMC = 180^{\circ} - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).
Ответ: \( 108^{\circ} \)
