Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаИтоговая работа по геометрии, 8 класс 1 вариант 1. Найдите площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10см, 10см и 12 см. 2. В параллелограмме две стороны 12 см и 16 см, в один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 3. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Найдите площадь трапеции. 4.В ДАВС со сторонами АС=12 см и АВ=18 см проведена прямая MN, параллельная АС. М-9 см. Найдите ВМ, отношение площадей треугольников ДАВС И ΔΒΜΝ. 5. Дан прямоугольный ДАВС, у которого ДС прямой, катет ВС=6 см, ДА=60°. Найдить Площадь ДАВС
Ответ:
1 вариант
Решение:
Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Проведем высоту к основанию (12 см). Она разделит основание пополам, то есть на два отрезка по 6 см. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетами 6 см и h (высота). По теореме Пифагора:
\( h^2 + 6^2 = 10^2 \)
\( h^2 + 36 = 100 \)
\( h^2 = 100 - 36 \)
\( h^2 = 64 \)
\( h = \sqrt{64} = 8 \) см.
Площадь треугольника находится по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \)
\( S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 6 \times 8 = 48 \) см2.Ответ: 48 см2
Решение:
Площадь параллелограмма находится по формуле:
\( S = a \times b \times \sin{\alpha} \)
где \( a \) и \( b \) — стороны параллелограмма, \( \alpha \) — угол между ними.
В данном случае \( a = 12 \) см, \( b = 16 \) см, \( \alpha = 150^{\circ} \).
\( \sin{150^{\circ}} = \sin{(180^{\circ} - 30^{\circ})} = \sin{30^{\circ}} = 0.5 \).
\( S = 12 \times 16 \times 0.5 = 192 \times 0.5 = 96 \) см2.Ответ: 96 см2
Решение:
В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 20 см, боковая сторона — 13 см. Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно найти ее высоту. Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему. Они разделят большее основание на три отрезка: x, 10 см, x. Тогда \( 2x + 10 = 20 \), значит, \( 2x = 10 \), \( x = 5 \) см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (13 см), высотой (h) и отрезком основания (5 см). По теореме Пифагора:
\( h^2 + 5^2 = 13^2 \)
\( h^2 + 25 = 169 \)
\( h^2 = 169 - 25 \)
\( h^2 = 144 \)
\( h = \sqrt{144} = 12 \) см.
Площадь трапеции находится по формуле:
\( S = \frac{a+b}{2} \times h \)
\( S = \frac{10+20}{2} \times 12 = \frac{30}{2} \times 12 = 15 \times 12 = 180 \) см2.Ответ: 180 см2
Решение:
Дан треугольник АВС. Прямая MN параллельна АС. Точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC. По условию, AB = 18 см, AC = 12 см, AM = 9 см.
Так как MN || AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B — общий, углы BMN и BAC — соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).
Коэффициент подобия \( k = \frac{AM}{AB} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \).
Следовательно, \( BM = AB - AM = 18 - 9 = 9 \) см.
Также, \( MN = k \times AC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\( \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).
Таким образом, площадь треугольника MBN составляет 1/4 площади треугольника ABC.
Отношение площадей треугольников ДАВС и ΔΒΜΝ: \( \frac{S_{ABC}}{S_{MBN}} = \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1/4} = 4 \).
Примечание: в условии задачи указано ДАВС и ΔΒΜΝ, что подразумевает треугольник ABC.Ответ: BM = 9 см, отношение площадей ДАВС к ΔΒΜΝ равно 4.
Решение:
Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Катет BC = 6 см, \( \angle A = 60^{\circ} \).
Для нахождения площади прямоугольного треугольника нам нужен второй катет — AC.
Используем тангенс угла A:
\( \tan{A} = \frac{BC}{AC} \)
\( \tan{60^{\circ}} = \frac{6}{AC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{6}{AC} \)
\( AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \times катет_1 \times катет_2 \)
\( S = \frac{1}{2} \times BC \times AC \)
\( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) см2.Ответ: 6\( \sqrt{3} \) см2
2 вариант
Решение:
Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 20 см, 24 см и 20 см. Основание — 24 см. Проведем высоту к основанию. Она разделит основание пополам, то есть на два отрезка по 12 см. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см и катетами 12 см и h (высота).
По теореме Пифагора:
\( h^2 + 12^2 = 20^2 \)
\( h^2 + 144 = 400 \)
\( h^2 = 400 - 144 \)
\( h^2 = 256 \)
\( h = \sqrt{256} = 16 \) см.
Площадь треугольника:
\( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \)
\( S = \frac{1}{2} \times 24 \times 16 = 12 \times 16 = 192 \) см2.Ответ: 192 см2
Решение:
Площадь параллелограмма:
\( S = a \times b \times \sin{\alpha} \)
где \( a = 6 \) см, \( b = 16 \) см, \( \alpha = 30^{\circ} \).
\( \sin{30^{\circ}} = 0.5 \).
\( S = 6 \times 16 \times 0.5 = 96 \times 0.5 = 48 \) см2.Ответ: 48 см2
Решение:
В прямоугольной трапеции основания равны 10 см и 22 см. Большая боковая сторона — 13 см. Поскольку трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и эта сторона является высотой. По условию, большая боковая сторона равна 13 см, значит, высота \( h = 13 \) см.
Площадь трапеции:
\( S = \frac{a+b}{2} \times h \)
\( S = \frac{10+22}{2} \times 13 = \frac{32}{2} \times 13 = 16 \times 13 = 208 \) см2.Ответ: 208 см2
Решение:
Дан треугольник ABC. Прямая MN параллельна AC. Точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC. По условию, AC = 10 см, AB = 18 см. Прямая MN параллельна AC, M — середина AB, N — середина BC. Значит, MN — средняя линия.
По условию, M-8 см. Это означает, что AM = 8 см. (Предполагая, что 'M-8 см' означает AM = 8 см).
Коэффициент подобия треугольника MBN и ABC:
\( k = \frac{AM}{AB} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \).
Из подобия следует:
\( \frac{BM}{AB} = k \implies BM = k \times AB = \frac{4}{9} \times 18 = 8 \) см.
\( \frac{MN}{AC} = k
x \rightarrow MN = k \times AC = \frac{4}{9} \times 10 = \frac{40}{9} \) см.
В условии задачи сказано: \( "проведена прямая MN, параллельная АС, М-8 см." \). Если \( M \) — точка на \( AB \), то \( AM = 8 \) см.
Тогда \( BM = AB - AM = 18 - 8 = 10 \) см.
Коэффициент подобия \( k = \frac{BM}{AB} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) (треугольники MBN и ABC подобны).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\( \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{5}{9})^2 = \frac{25}{81} \).
Таким образом, \( S_{MBN} = \frac{25}{81} S_{ABC} \).
Отношение площадей ДАВС и ΔΒΜΝ: \( \frac{S_{ABC}}{S_{MBN}} = \frac{1}{k^2} = \frac{81}{25} \).
Примечание: Неясность в условии "M-8 см". Предполагается, что AM=8 см.Ответ: AM = 8 см, отношение площадей ДАВС к ΔΒΜΝ равно 81/25.
Решение:
Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Катет BC = 10 см, \( \angle A = 30^{\circ} \).
Используем тангенс угла A:
\( \tan{A} = \frac{BC}{AC} \)
\( \tan{30^{\circ}} = \frac{10}{AC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AC} \)
\( AC = 10\sqrt{3} \) см.
Площадь прямоугольного треугольника:
\( S = \frac{1}{2} \times BC \times AC \)
\( S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \) см2.Ответ: 50\( \sqrt{3} \) см2
