Итоговая контрольная работа по математике 7 класс (2023-2024 учебный год) Вариант 2

Модуль «Алгебра»

1. 
   

   Решите уравнение:

   
   
   
   
   • а) \( 5(x+3) = x-3 \)
     \( 5x + 15 = x - 3 \)
     \( 5x - x = -3 - 15 \)
     \( 4x = -18 \)
     \( x = -18 / 4 \)
     \( x = -4.5 \)
   
   
   • 
     

     б) \( (x+8)(3x-21) = 0 \)

     
     

     Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

     
     \( x+8 = 0 \) или \( 3x-21 = 0 \)
     \( x = -8 \) или \( 3x = 21 \)
     \( x = -8 \) или \( x = 7 \)
   
   
   
   


2. 
   

   а) Постройте график функции \( y = -3x + 7 \).

   
   

   Для построения графика найдём две точки:

   
   
   
   
   • При \( x = 0 \), \( y = -3(0) + 7 = 7 \). Точка (0; 7).
   
   
   • При \( x = 1 \), \( y = -3(1) + 7 = 4 \). Точка (1; 4).
   
   
   
   
   
   


3. 
   

   б) Принадлежит ли графику функции точка (5; -8)?

   
   

   Подставим координаты точки в уравнение функции:

   
   \( -8 = -3(5) + 7 \)
   \( -8 = -15 + 7 \)
   \( -8 = -8 \)
   

   Да, точка (5; -8) принадлежит графику функции.

   
   


4. 
   

   Упростите выражение: \( (2x-5y)^2 - 6x(x-3y) \)

   
   \( (2x-5y)^2 - 6x(x-3y) = (4x^2 - 20xy + 25y^2) - (6x^2 - 18xy) \)
   \( = 4x^2 - 20xy + 25y^2 - 6x^2 + 18xy \)
   \( = (4x^2 - 6x^2) + (-20xy + 18xy) + 25y^2 \)
   \( = -2x^2 - 2xy + 25y^2 \)


5. 
   

   Решите систему уравнений:

   
   \( \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \)
   

   Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 4 - 2y \).

   
   

   Подставим во второе уравнение:

   
   \( 3(4 - 2y) - 4y = 2 \)
   \( 12 - 6y - 4y = 2 \)
   \( 12 - 10y = 2 \)
   \( -10y = 2 - 12 \)
   \( -10y = -10 \)
   \( y = 1 \)
   

   Теперь найдём \( x \):

   
   \( x = 4 - 2(1) \)
   \( x = 4 - 2 \)
   \( x = 2 \)
   

Модуль «Геометрия»

1. 
   

   Выберите верные утверждения:

   
   
   
   
   • 1) Через любую точку проходит не более одной прямой. — Неверно. Через любую точку проходит бесконечное множество прямых.
   
   
   • 2) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5, угол С наименьший. — Верно. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. AC = 5 — самая большая сторона, значит, угол B — наибольший. AB = 3 — самая меньшая сторона, значит, угол C — наименьший.
   
   
   • 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°. — Верно. Сумма острых углов равна 90°.
   
   
   • 4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. — Верно. Это признак параллельности прямых.
   
   
   
   


2. 
   

   Решите задачу:

   
   

   В ДАВС проведена биссектриса AL, \( \angle ALC = 78^{\circ} \), \( \angle ABC = 52^{\circ} \). Найдите \( \angle ACB \).

   
   

   Рассмотрим треугольник ALC.

   
   

   \( \angle LAC \) — внешний угол треугольника ABL. \( \angle ALC = 78^{\circ} \) — внешний угол треугольника ABL.

   
   

   В треугольнике ABL: \( \angle ALB = 180^{\circ} - \angle ALC = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

   
   

   Сумма углов треугольника ABL:

   
   \( \angle BAL + \angle ABL + \angle ALB = 180^{\circ} \)
   \( \angle BAL + 52^{\circ} + 102^{\circ} = 180^{\circ} \)
   \( \angle BAL + 154^{\circ} = 180^{\circ} \)
   \( \angle BAL = 180^{\circ} - 154^{\circ} \)
   \( \angle BAL = 26^{\circ} \)
   

   Так как AL — биссектриса, то \( \angle BAL = \angle CAL = 26^{\circ} \).

   
   

   Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов равна 180°:

   
   \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \)
   \( \angle BAC = \angle BAL + \angle CAL = 26^{\circ} + 26^{\circ} = 52^{\circ} \)
   \( 52^{\circ} + 52^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \)
   \( 104^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \)
   \( \angle ACB = 180^{\circ} - 104^{\circ} \)
   \( \angle ACB = 76^{\circ} \)
   

В ответ запишите номера верных утверждений в порядке возрастания: 2, 3, 4.

Ответ: 76 градусов.