Исследуйте функцию на монотонность: а) \(y=x^3+3\); б) \(y=2x^2-3x+4\); в) \(y=\sqrt{4+7x}\).

а) \(y=x^3+3\)

Функция \(x^3\) строго возрастает на всей числовой прямой. Прибавление постоянного числа 3 не меняет монотонность.

Ответ: функция возрастает на \((-;+)\).

б) \(y=2x^2-3x+4\)

Это парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен. Абсцисса вершины:

\[x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}.\]

До вершины функция убывает, после вершины возрастает.

Ответ: убывает на \((-;\frac34]\), возрастает на \([\frac34;+)\).

в) \(y=\sqrt{4+7x}\)

Область определения задаётся условием \(4+7x\ge 0\), откуда \(x\ge-\frac47\). Подкоренное выражение строго возрастает, а квадратный корень сохраняет порядок неотрицательных значений, поэтому функция строго возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на \([-\frac47;+)\).