6. Исследовать при помощи производной и построить график функции h(x) = -2x² + 5x + 7

Ответ: Исследование функции h(x) = -2x² + 5x + 7 проведено, график построен (описание ниже)

Шаг 1: Находим производную функции

Дана функция h(x) = -2x² + 5x + 7. Найдем её производную:

\[h'(x) = -4x + 5\]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[-4x + 5 = 0\] \[4x = 5\] \[x = \frac{5}{4} = 1.25\]

Таким образом, критическая точка x = 1.25.

Шаг 3: Определяем интервалы монотонности

• Интервал (-∞, 1.25):

Возьмем x = 0, тогда h'(0) = -4(0) + 5 = 5 > 0. Функция возрастает.

• Интервал (1.25, +∞):

Возьмем x = 2, тогда h'(2) = -4(2) + 5 = -3 < 0. Функция убывает.

Шаг 4: Определяем экстремумы

Так как в точке x = 1.25 производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке:

\[h(1.25) = -2(1.25)^2 + 5(1.25) + 7\] \[h(1.25) = -2(1.5625) + 6.25 + 7\] \[h(1.25) = -3.125 + 6.25 + 7\] \[h(1.25) = 10.125\]

Итак, точка максимума: (1.25, 10.125).

Шаг 5: Находим дополнительные точки для графика

Найдем значения функции в нескольких точках для построения графика:

• h(0) = -2(0)² + 5(0) + 7 = 7
• h(1) = -2(1)² + 5(1) + 7 = -2 + 5 + 7 = 10
• h(2) = -2(2)² + 5(2) + 7 = -8 + 10 + 7 = 9
• h(3) = -2(3)² + 5(3) + 7 = -18 + 15 + 7 = 4

Шаг 6: Строим график

Построим график функции h(x) = -2x² + 5x + 7, используя полученные точки и информацию об интервалах монотонности и экстремумах.

Итог

• Функция возрастает на интервале (-∞, 1.25).
• Функция убывает на интервале (1.25, +∞).
• Точка максимума: (1.25, 10.125).
• График: Парабола с вершиной в точке (1.25, 10.125).

Ответ: Исследование функции h(x) = -2x² + 5x + 7 проведено, график построен (описание выше)