1.1. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы возрастания и убывания, схематически построить график функции: 1 вариант 2 вариант 4 a) y = -x² + 8x² +9; 13 1 6) y = x² + x²+; 2 3 3 a) y = x²-6x² +16; 6) y = 2x²-6x²-12x-1.

Ответ: Будет исследована функция на экстремум, найдены интервалы возрастания и убывания, схематически построены графики функций для каждого варианта.

Вариант 1

a) y = -x⁴ + 8x² + 9

Шаг 1: Находим первую производную функции.

\[y' = -4x^3 + 16x\]

Шаг 2: Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.

\[-4x^3 + 16x = 0\] \[-4x(x^2 - 4) = 0\] \[x = 0, x = 2, x = -2\]

Шаг 3: Исследуем знак производной на интервалах.

        -2      0       2
-------(-)--(+)--(-)--(+)-------> x

• (-\infty, -2): y' < 0 (функция убывает)
• (-2, 0): y' > 0 (функция возрастает)
• (0, 2): y' > 0 (функция возрастает)
• (2, +\infty): y' < 0 (функция убывает)

Шаг 4: Определяем экстремумы.

• x = -2: минимум (y(-2) = -16 + 32 + 9 = 25)
• x = 0: максимум (y(0) = 9)
• x = 2: минимум (y(2) = -16 + 32 + 9 = 25)

б) y = (1/3)x³ + x² + (1/3)

Шаг 1: Находим первую производную функции.

\[y' = x^2 + 2x\]

Шаг 2: Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.

\[x^2 + 2x = 0\] \[x(x + 2) = 0\] \[x = 0, x = -2\]

Шаг 3: Исследуем знак производной на интервалах.

        -2      0
-------(+)--(-)--(+)-------> x

• (-\infty, -2): y' > 0 (функция возрастает)
• (-2, 0): y' < 0 (функция убывает)
• (0, +\infty): y' > 0 (функция возрастает)

Шаг 4: Определяем экстремумы.

• x = -2: максимум (y(-2) = -8/3 + 4 + 1/3 = 5/3)
• x = 0: минимум (y(0) = 1/3)

Вариант 2

а) y = x³ - 6x² + 16

Шаг 1: Находим первую производную функции.

\[y' = 3x^2 - 12x\]

Шаг 2: Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.

\[3x^2 - 12x = 0\] \[3x(x - 4) = 0\] \[x = 0, x = 4\]

Шаг 3: Исследуем знак производной на интервалах.

        0       4
-------(+)--(-)--(+)-------> x

• (-\infty, 0): y' > 0 (функция возрастает)
• (0, 4): y' < 0 (функция убывает)
• (4, +\infty): y' > 0 (функция возрастает)

Шаг 4: Определяем экстремумы.

• x = 0: максимум (y(0) = 16)
• x = 4: минимум (y(4) = 64 - 96 + 16 = -16)

б) y = 2x³ - 6x² - 12x - 1

Шаг 1: Находим первую производную функции.

\[y' = 6x^2 - 12x - 12\]

Шаг 2: Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.

\[6x^2 - 12x - 12 = 0\] \[x^2 - 2x - 2 = 0\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\]

Шаг 3: Исследуем знак производной на интервалах.

      1-√3     1+√3
-------(+)--(-)--(+)-------> x

• (-\infty, 1-\sqrt{3}): y' > 0 (функция возрастает)
• (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}): y' < 0 (функция убывает)
• (1+\sqrt{3}, +\infty): y' > 0 (функция возрастает)

Шаг 4: Определяем экстремумы.

• x = 1-\sqrt{3}: максимум (y(1-\sqrt{3}) = 2(1-\sqrt{3})^3 - 6(1-\sqrt{3})^2 - 12(1-\sqrt{3}) - 1)
• x = 1+\sqrt{3}: минимум (y(1+\sqrt{3}) = 2(1+\sqrt{3})^3 - 6(1+\sqrt{3})^2 - 12(1+\sqrt{3}) - 1)

Ответ: Будет исследована функция на экстремум, найдены интервалы возрастания и убывания, схематически построены графики функций для каждого варианта.