1. Используя теорему Виета, найдите второй корень уравнения, зная первый: a) x²-17x+30=0, x=2; б) 2x²-7x+3=0, x₁ =3.

Решим задачу, используя теорему Виета.

а) Дано квадратное уравнение $$x^2 - 17x + 30 = 0$$ и один из корней $$x_1 = 2$$. Необходимо найти второй корень $$x_2$$.

По теореме Виета, для квадратного уравнения $$x^2 + bx + c = 0$$ сумма корней равна коэффициенту $$b$$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $$c$$. В данном случае, $$b = -17$$, $$c = 30$$. Тогда:

Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -b = 17$$

Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = c = 30$$

Подставим известный корень $$x_1 = 2$$ в уравнение для суммы корней:

$$2 + x_2 = 17$$

$$x_2 = 17 - 2$$

$$x_2 = 15$$

Проверим произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 15 = 30$$, что соответствует условию.

б) Дано квадратное уравнение $$2x^2 - 7x + 3 = 0$$ и один из корней $$x_1 = 3$$. Необходимо найти второй корень $$x_2$$.

Сначала приведем уравнение к виду $$x^2 + bx + c = 0$$, разделив обе части уравнения на 2:

$$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$$

По теореме Виета:

Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -b = \frac{7}{2} = 3.5$$

Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = c = \frac{3}{2} = 1.5$$

Подставим известный корень $$x_1 = 3$$ в уравнение для суммы корней:

$$3 + x_2 = 3.5$$

$$x_2 = 3.5 - 3$$

$$x_2 = 0.5$$

Проверим произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 0.5 = 1.5$$, что соответствует условию.

Ответ: a) $$x_2 = 15$$, б) $$x_2 = 0.5$$