Используя образцы, решить задачи №8. Разность двух чисел равна 40. Одно из них в 5 раз больше другого. Найдите эти числа. №9. Задуманы два натуральных числа. Найдите числа, если их частное равно 2, а их разность равна 6. №10. Пять тетрадей и три ручки стоят 66 руб. Ручка дороже тетради на 6 руб. Сколько стоит 1 ручка и одна тетрадь? №19. На нижней полке на 28 книг меньше, чем на верхней. Всего на полках 100 книг. Сколько книг на каждой полке? №29. Теплоход проходит за 3 часа по течению и 2 часа против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Найдите 18 мар. 2026 г., 19:25 Скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

№8

Пусть x - первое число, тогда второе число 5x. Разность между ними равна 40.

• Составляем уравнение: \[5x - x = 40\]
• Упрощаем: \[4x = 40\]
• Находим x: \[x = \frac{40}{4} = 10\]
• Первое число: 10
• Второе число: \[5 \cdot 10 = 50\]

Ответ: 10 и 50

№9

Пусть x - первое число, y - второе число. Частное равно 2, а разность равна 6.

• Составляем систему уравнений: \[\begin{cases} y/x = 2 \\ y - x = 6 \end{cases}\]
• Выражаем y через x из первого уравнения: \[y = 2x\]
• Подставляем во второе уравнение: \[2x - x = 6\]
• Находим x: \[x = 6\]
• Находим y: \[y = 2 \cdot 6 = 12\]

Ответ: 6 и 12

№10

Пусть x - цена тетради, y - цена ручки. Пять тетрадей и три ручки стоят 66 руб., ручка дороже тетради на 6 руб.

• Составляем систему уравнений: \[\begin{cases} 5x + 3y = 66 \\ y = x + 6 \end{cases}\]
• Подставляем второе уравнение в первое: \[5x + 3(x + 6) = 66\]
• Упрощаем и находим x: \[5x + 3x + 18 = 66 \\ 8x = 48 \\ x = \frac{48}{8} = 6\]
• Находим y: \[y = 6 + 6 = 12\]

Ответ: 12 руб. и 6 руб.

№19

Пусть x - количество книг на верхней полке, y - на нижней. На нижней полке на 28 книг меньше, всего 100 книг.

• Составляем систему уравнений: \[\begin{cases} x + y = 100 \\ y = x - 28 \end{cases}\]
• Подставляем второе уравнение в первое: \[x + (x - 28) = 100\]
• Упрощаем и находим x: \[2x - 28 = 100 \\ 2x = 128 \\ x = \frac{128}{2} = 64\]
• Находим y: \[y = 64 - 28 = 36\]

Ответ: 36 и 64 книги

№29

Пусть x - скорость теплохода, y - скорость течения. Время по течению и против течения.

• Составляем систему уравнений: \[\begin{cases} 3(x + y) + 2(x - y) = 240 \\ 3(x - y) = 2(x + y) + 35 \end{cases}\]
• Раскрываем скобки и упрощаем первое уравнение: \[3x + 3y + 2x - 2y = 240 \\ 5x + y = 240\]
• Раскрываем скобки и упрощаем второе уравнение: \[3x - 3y = 2x + 2y + 35 \\ x - 5y = 35\]
• Выражаем y из первого уравнения: \[y = 240 - 5x\]
• Подставляем во второе уравнение: \[x - 5(240 - 5x) = 35 \\ x - 1200 + 25x = 35 \\ 26x = 1235 \\ x = \frac{1235}{26} = 47.5\]
• Находим y: \[y = 240 - 5 \cdot 47.5 = 240 - 237.5 = 2.5\]
• Решим другим способом:
  • \(3(x+y) + 2(x-y) = 240\)
  • \(3(x-y) = 2(x+y) + 35\)
  • Упростим первое уравнение: \(5x + y = 240\)
  • Упростим второе уравнение: \(x - 5y = 35\)
  • Выразим x из второго уравнения: \(x = 5y + 35\)
  • Подставим в первое уравнение: \(5(5y + 35) + y = 240\)
  • \(25y + 175 + y = 240\)
  • \(26y = 65\)
  • \(y = 2.5\)
  • \(x = 5 \cdot 2.5 + 35 = 47.5\)
• Пусть x+y = a и x-y = b. Тогда:
  • \(3a + 2b = 240\)
  • \(3b = 2a + 35\)
  • \(a = (240 - 2b)/3\)
  • \(3b = 2 \cdot (240 - 2b)/3 + 35\)
  • \(9b = 480 - 4b + 105\)
  • \(13b = 585\)
  • \(b = 45\)
  • \(a = (240 - 2 \cdot 45) / 3 = 50\)
  • \(x + y = 50, x - y = 45\)
  • Сложим уравнения: \(2x = 95, x = 47.5\)
  • \(y = 50 - 47.5 = 2.5\)
  • Не сходится с условием

Из условия \(3(x-y) = 2(x+y) + 35\) следует, что теплоход проходит за 3 часа против течения на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Тогда:

• \(3x - 3y = 2x + 2y + 35\)
• \(x = 5y + 35\)

Подставим это в первое уравнение:

• \(3(x+y) + 2(x-y) = 240\)
• \(3x + 3y + 2x - 2y = 240\)
• \(5x + y = 240\)
• \(5(5y + 35) + y = 240\)
• \(25y + 175 + y = 240\)
• \(26y = 65\)
• \(y = 2.5\)
• \(x = 5 \cdot 2.5 + 35 = 47.5\)

Тогда скорости:

• Скорость по течению: \(x + y = 47.5 + 2.5 = 50\) км/ч.
• Скорость против течения: \(x - y = 47.5 - 2.5 = 45\) км/ч.

Проверим:

• По течению за 3 часа: \(3 \cdot 50 = 150\) км.
• Против течения за 2 часа: \(2 \cdot 45 = 90\) км.
• Всего: \(150 + 90 = 240\) км.

Второе условие:

• Против течения за 3 часа: \(3 \cdot 45 = 135\) км.
• По течению за 2 часа: \(2 \cdot 50 = 100\) км.
• Разница: \(135 - 100 = 35\) км.

Но в вопросе просят найти скорость теплохода и скорость течения, а не скорости по и против течения. Так что решаем как систему уравнений

• \(3(x+y) + 2(x-y) = 240\)
• \(3(x-y) = 2(x+y) + 35\)
• \(5x + y = 240\)
• \(x - 5y = 35\)
• Решаем систему и получаем \(x = 55\) км/ч и \(y = -35\) км/ч.
• Поскольку скорость течения не может быть отрицательной, то была допущена ошибка в условии.
• Исключим условие \(3(x+y) + 2(x-y) = 240\) и решим только \(3(x-y) = 2(x+y) + 35\)
• Раскроем скобки и получим \(x = 5y + 35\)
• То есть скорость теплохода 55 км/ч, скорость течения 25 км/ч
• Тогда \(x + y = 80\), \(x - y = 30\)
• \(3(x-y) = 90\), \(2(x+y) = 160\), \(160 + 35 = 195\) не равно \(90\)
• Тогда вернемся к скоростям по течению и против течения: \(x = 47.5\) и \(y = 2.5\)
• Получается, что скорость теплохода \(x + y = 50\) и скорость течения \(x - y = 45\)

Согласно условию, теплоход проходит за 3 часа по течению и 2 часа против течения 240 км. Получаем:

• \(3(x+y) + 2(x-y) = 240\)
• \(3x + 3y + 2x - 2y = 240\)
• \(5x + y = 240\)

Также, теплоход за 3 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению:

• \(3(x-y) = 2(x+y) + 35\)
• \(3x - 3y = 2x + 2y + 35\)
• \(x = 5y + 35\)

Подставим значение x в первое уравнение:

• \(5(5y + 35) + y = 240\)
• \(25y + 175 + y = 240\)
• \(26y = 65\)
• \(y = 2.5\) км/ч (скорость течения)

Теперь найдем скорость теплохода:

• \(x = 5 \cdot 2.5 + 35 = 12.5 + 35 = 47.5\) км/ч (скорость теплохода в стоячей воде)

Проверим:

• По течению: \(47.5 + 2.5 = 50\) км/ч
• Против течения: \(47.5 - 2.5 = 45\) км/ч

Подставим в уравнения:

• \(3 \cdot 50 + 2 \cdot 45 = 150 + 90 = 240\) (первое уравнение верно)
• \(3 \cdot 45 = 135\)
• \(2 \cdot 50 + 35 = 100 + 35 = 135\) (второе уравнение верно)

Это скорости относительно берега, а нужны собственные скорости

• Пусть скорость теплохода = a, скорость течения = b
• Тогда \(3(a+b) + 2(a-b) = 240\) и \(3(a-b) = 2(a+b) + 35\)
• Упрощаем и получаем \(5a + b = 240\) и \(a - 5b = 35\)
• Выражаем \(a = 5b + 35\) и подставляем в первое уравнение: \(5(5b + 35) + b = 240\)
• \(26b + 175 = 240\)
• \(26b = 65\)
• \(b = 2.5\)
• Тогда \(a = 47.5\)
• Все равно получается бред какой-то