Используя метод подстановки, решите систему линейных уравнений: \( \frac{5}{7}x - 5y = -\frac{23}{14} \) \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = \frac{8}{15} \)

Решение:

Заданная система уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{5}{7}x - 5y = -\frac{23}{14} \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = \frac{8}{15} \end{cases} \]

Для удобства избавимся от знаменателей в каждом уравнении.

Умножим первое уравнение на 14:

\[ 14 \left( \frac{5}{7}x - 5y \right) = 14 \left( -\frac{23}{14} \right) \]

\[ 10x - 70y = -23 \quad (1) \]

Умножим второе уравнение на 30 (наименьшее общее кратное 3 и 2, умноженное на 15):

\[ 30 \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y \right) = 30 \left( \frac{8}{15} \right) \]

\[ 20x + 15y = 16 \quad (2) \]

Теперь решим полученную систему методом подстановки. Выразим \( y \) из уравнения (2):

\[ 15y = 16 - 20x \]

\[ y = \frac{16 - 20x}{15} \]

Подставим это выражение для \( y \) в уравнение (1):

\[ 10x - 70 \left( \frac{16 - 20x}{15} \right) = -23 \]

Упростим дробь \( \frac{70}{15} = \frac{14}{3} \).

\[ 10x - \frac{14}{3} (16 - 20x) = -23 \]

Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 3(10x) - 14(16 - 20x) = 3(-23) \]

\[ 30x - 224 + 280x = -69 \]

Сгруппируем члены с \( x \):

\[ 310x = -69 + 224 \]

\[ 310x = 155 \]

\[ x = \frac{155}{310} = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим значение \( x = \frac{1}{2} \) в выражение для \( y \):

\[ y = \frac{16 - 20(\frac{1}{2})}{15} = \frac{16 - 10}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]

Проверим полученные значения в исходной системе:

Первое уравнение:

\[ \frac{5}{7} \left( \frac{1}{2} \right) - 5 \left( \frac{2}{5} \right) = \frac{5}{14} - 2 = \frac{5 - 28}{14} = -\frac{23}{14} \]

Второе уравнение:

\[ \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15} \]

Решения удовлетворяют обоим уравнениям.

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, y = \frac{2}{5} \).