In an isosceles triangle ABC, the angle at the base is \alpha = 30°. The distance from the center of the inscribed circle to vertex C is equal to d. Find the radius of the inscribed circle. Solution: tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}

Решение:

• Задача описывает равнобедренный треугольник, где угол при основании равен \(\alpha = 30°\).
• Расстояние от центра вписанной окружности до вершины C равно \(d\).
• Требуется найти радиус вписанной окружности.
• Воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике: \(r = \frac{a}{2} \text{tg} \frac{\alpha}{2}\), где \(a\) - длина основания.
• Также нам дано, что расстояние от центра вписанной окружности до вершины C равно \(d\). Это расстояние можно выразить через радиус \(r\) и угол при вершине \(\beta\).
• В равнобедренном треугольнике сумма углов равна 180°, поэтому \(\beta = 180° - 2\alpha = 180° - 2(30°) = 180° - 60° = 120°\).
• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(\beta\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром вписанной окружности, вершиной C и точкой касания на боковой стороне. В этом треугольнике угол при вершине C будет \(\frac{\beta}{2} = \frac{120°}{2} = 60°\).
• Тогда \(d = \frac{r}{\sin(\beta/2)}\) или \(r = d \sin(\beta/2)\).
• Подставим \(\beta = 120°\): \(r = d \sin(60°) = d \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Проверка с использованием второй части условия: \(\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \text{tg} \frac{30°}{2} = \text{tg} 15° = 2 - √3\).
• \(\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin 30°}{1 + \cos 30°} = \frac{1/2}{1 + √3/2} = \frac{1}{2 + √3} = 2 - √3\). Формула верна.
• Однако, прямого использования этой формулы для нахождения радиуса через \(d\) здесь нет.
• Основной вывод - радиус вписанной окружности \(r = d \sin(60°)\).

Ответ: d \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)