Имеются два неколлинеарных вектора а и Б, имеющих равные длины. Найдите ска- лярное произведение (а+Б)⋅(а-Б).

Ответ: 0

Решение:

1) Раскроем скобки в скалярном произведении:

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\]

2) Упростим выражение, учитывая, что \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\]:

\[\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\]

3) Заметим, что \[\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\] и \[\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2\]. Тогда выражение можно переписать как:

\[|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\]

4) По условию, длины векторов равны, то есть \[|\vec{a}| = |\vec{b}|\]. Следовательно, \[|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2\].

5) Подставим это в выражение:

\[|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0\]

Ответ: 0