Имеются 9 одинаковых на вид монет. Одна из них фальшивая: она отличается по весу от настоящих, но неизвестно, легче она или тяжелее. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно гарантированно найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее?

Обозначим монеты числами от 1 до 9. Минимум — 3 взвешивания.

Первое взвешивание: сравним монеты 1, 2, 3 с монетами 4, 5, 6.

1. Чаши уравновесились. Тогда фальшивая монета — среди 7, 8, 9, а монеты 1–6 настоящие. Вторым взвешиванием сравним 7 и 8. Если они равны, третьим взвешиванием сравним 9 с заведомо настоящей монетой: так узнаем, легче 9 или тяжелее. Если 7 и 8 не равны, третьим взвешиванием сравним 7 с настоящей монетой: если 7 тяжелее настоящей, фальшивая — 7 и она тяжелее; если весы уравновесятся, фальшивая — 8 и она легче; если 7 легче настоящей, фальшивая — 7 и она легче.
2. Первая группа тяжелее второй. Значит, фальшивой может быть только монета 1, 2 или 3, если она тяжелее, либо 4, 5 или 6, если она легче. Вторым взвешиванием сравним 1 и 4 с 2 и 5, то есть положим на одну чашу монеты 1 и 4, на другую — 2 и 5. Если чаши уравновесились, возможны только 3 (тяжёлая) или 6 (лёгкая): третьим взвешиванием сравним 3 с настоящей монетой. Если чаша с 1 и 4 тяжелее, возможны только 1 (тяжёлая) или 5 (лёгкая): сравним 1 с настоящей монетой. Если тяжелее чаша с 2 и 5, возможны только 2 (тяжёлая) или 4 (лёгкая): сравним 2 с настоящей монетой.
3. Первая группа легче второй. Рассуждение симметрично: возможны 1, 2 или 3 как лёгкие монеты либо 4, 5 или 6 как тяжёлые. Второе взвешивание — те же пары: 1 и 4 против 2 и 5. При равновесии сравним 3 с настоящей монетой; при перевесе чаши с 1 и 4 сравним 1 с настоящей; при перевесе чаши с 2 и 5 сравним 2 с настоящей. Направление первого взвешивания вместе с результатом второго определяет, является найденная монета лёгкой или тяжёлой.

Почему меньше нельзя: у каждой из 9 монет есть два возможных состояния — она может быть легче или тяжелее. Итого 18 вариантов. За одно взвешивание возможны 3 результата, поэтому за два взвешивания можно различить не более 9 вариантов, а этого недостаточно для 18.

Ответ: 3 взвешивания.