Имеется 21 коробка массой по 24 кг и 19 коробок массой по 18 кг каждая. Все коробки раскладываются по двум контейнерам так, чтобы количество коробок в контейнерах было одинаковым. Пусть S – модуль разности суммарной массы коробок в одном контейнере и суммарной массы коробок в другом контейнере. Найти наименьшее значение S.

Решение:

Общее количество коробок: \( 21 + 19 = 40 \) шт.

Поскольку коробки раскладываются по двум контейнерам так, чтобы количество коробок в них было одинаковым, то в каждом контейнере будет по \( 40 / 2 = 20 \) шт. коробок.

Всего коробок с массой 24 кг — 21 шт. Всего коробок с массой 18 кг — 19 шт.

Для минимизации разницы суммарной массы коробок в контейнерах, необходимо стремиться к тому, чтобы в каждом контейнере было примерно равное соотношение тяжелых (24 кг) и легких (18 кг) коробок.

Рассмотрим два контейнера:

• Контейнер 1: Пусть в нем будет \( x \) коробок по 24 кг и \( 20-x \) коробок по 18 кг.
• Контейнер 2: В нем будет \( 21-x \) коробок по 24 кг и \( 19-(20-x) = x-1 \) коробок по 18 кг.

Масса в Контейнере 1: \( m_1 = 24x + 18(20-x) = 24x + 360 - 18x = 6x + 360 \) кг.

Масса в Контейнере 2: \( m_2 = 24(21-x) + 18(x-1) = 504 - 24x + 18x - 18 = 486 - 6x \) кг.

Разница масс \( S = |m_1 - m_2| = |(6x + 360) - (486 - 6x)| = |12x - 126| \).

Чтобы найти наименьшее значение \( S \), нужно минимизировать \( |12x - 126| \). Это произойдет, когда \( 12x \) будет максимально близко к \( 126 \).

\( 12x = 126 \) \( \Rightarrow \) \( x = 126 / 12 = 10.5 \).

Поскольку \( x \) — количество коробок, оно должно быть целым числом. Возможные целые значения \( x \) — 10 и 11.

Вариант 1: x = 10

• Контейнер 1: 10 коробок по 24 кг, 10 коробок по 18 кг. Масса \( m_1 = 10 \times 24 + 10 \times 18 = 240 + 180 = 420 \) кг.
• Контейнер 2: 11 коробок по 24 кг, 9 коробок по 18 кг. Масса \( m_2 = 11 \times 24 + 9 \times 18 = 264 + 162 = 426 \) кг.
• Разница \( S = |420 - 426| = 6 \) кг.

Вариант 2: x = 11

• Контейнер 1: 11 коробок по 24 кг, 9 коробок по 18 кг. Масса \( m_1 = 11 \times 24 + 9 \times 18 = 264 + 162 = 426 \) кг.
• Контейнер 2: 10 коробок по 24 кг, 10 коробок по 18 кг. Масса \( m_2 = 10 \times 24 + 10 \times 18 = 240 + 180 = 420 \) кг.
• Разница \( S = |426 - 420| = 6 \) кг.

В обоих случаях наименьшая разница составляет 6 кг.

Ответ: 6 кг.