Имеется 2026 заготовок, пронумерованных целыми числами от 1 до 2026 включительно, по одной заготовке с каждым номером. Заготовка с номером n проходит контроль, если произведение n(n + 1) делится на 72 без остатка. Сколько заготовок проходит контроль?

Разложим делитель на простые множители: \(72=8\cdot9=2^3\cdot3^2\).

Числа \(n\) и \(n+1\) взаимно просты. Чтобы произведение делилось на \(2^3\cdot3^2\), один из двух соседних множителей должен делиться на 8, а один — на 9. Поскольку 8 и 9 взаимно просты, это равносильно одному из условий: \(n\equiv0\) или \(7\pmod{72}\).

Среди чисел от 1 до 2026 для каждого из двух остатков — 0 и 7 по модулю 72 — есть \(\lfloor2026/72\rfloor=28\) чисел. Оба остатка дают числа в диапазоне: например, 72 и 79.

Итого: \(28+28=56\).

Ответ: 56