III уровень сложности Вариант 1 1. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5л см². Найдите диаметр сферы. 2. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 3. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом а к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной в и стягивающей дугу В. Найдите высоту цилиндра. Вариант 2 1. Диаметр шара равен а. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости. 2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 3. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Найдите его площадь, если радиус конуса r, угол между сечением и основанием 60°, угол между образующей и основанием 45°. 3. Рефлексия учебной деятельности (ОТВЕТЫ) В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.

1. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна \(5\pi\) см². Найдите диаметр сферы.
Краткое пояснение: Площадь сечения шара плоскостью связана с радиусом шара и углом наклона плоскости.

• Площадь сечения: \(S = \pi r^2 = 5\pi\)
• Радиус сечения: \(r = \sqrt{5}\) см
• Пусть R - радиус сферы, тогда \(r = R \sin(60^\circ)\)
• \(R = \frac{r}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}\) см
• Диаметр сферы: \(D = 2R = \frac{4\sqrt{15}}{3}\) см

Ответ: \(\frac{4\sqrt{15}}{3}\) см

2. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Краткое пояснение: Необходимо найти радиус основания конуса, образующую конуса и затем вычислить площадь боковой поверхности.

• Хорда стягивает дугу 90°, значит, центральный угол, опирающийся на эту хорду, тоже 90°.
• В прямоугольном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, радиус основания конуса равен: \(R = \frac{5}{\sqrt{2}}\)
• Рассмотрим сечение, проходящее через вершину конуса и хорду. Это треугольник, в котором известна сторона (хорда) и угол между плоскостью сечения и основанием.
• Высота конуса: \(H = R \tan(60^\circ) = \frac{5}{\sqrt{2}} \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\)
• Образующая конуса: \(l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{150}{4}} = \sqrt{\frac{50+150}{4}} = \sqrt{\frac{200}{4}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
• Площадь боковой поверхности конуса: \(S = \pi R l = \pi \frac{5}{\sqrt{2}} 5\sqrt{2} = 25\pi\)

Ответ: \(25\pi\) см²

3. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом \(\alpha\) к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной b и стягивающей дугу \(\beta\). Найдите высоту цилиндра.
Краткое пояснение: Найдем радиус основания, затем выразим высоту через радиус и угол.

• Радиус основания: \(R = \frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}\)
• Высота цилиндра: \(H = R \tan(\alpha) = \frac{b \tan(\alpha)}{2\sin(\frac{\beta}{2})}\)

Ответ: \(H = \frac{b \tan(\alpha)}{2\sin(\frac{\beta}{2})}\)

1. Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости.
Краткое пояснение: Найдем радиус сечения, затем длину линии пересечения.

• Радиус шара: \(R = \frac{d}{2}\)
• Радиус сечения: \(r = R \sin(30^\circ) = \frac{d}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{d}{4}\)
• Длина линии пересечения: \(L = 2\pi r = 2\pi \frac{d}{4} = \frac{\pi d}{2}\)

Ответ: \(\frac{\pi d}{2}\)

2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Краткое пояснение: Найдем радиус основания, высоту цилиндра и вычислим площадь боковой поверхности.

• Угол 120°, значит, центральный угол, опирающийся на хорду, равен 120°.
• Расстояние от оси до плоскости равно 3 см. Это расстояние является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - радиус основания.
• Радиус основания: \(R = \frac{3}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6\) см
• Высота цилиндра: \(H = \sqrt{20^2 - (2R)^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) см
• Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S = 2\pi R H = 2\pi \cdot 6 \cdot 16 = 192\pi\) см²

Ответ: \(192\pi\) см²

3. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Найдите его площадь, если радиус конуса r, угол между сечением и основанием 60°, угол между образующей и основанием 45°.
Краткое пояснение: Найдем высоту конуса, образующую, а затем площадь сечения.

• Высота конуса: \(H = r \tan(45^\circ) = r\)
• Образующая конуса: \(l = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}\)
• Угол между сечением и основанием 60°. Значит, высота в сечении: \(h = H \cos(60^\circ) = r \cdot \frac{1}{2} = \frac{r}{2}\)
• Площадь сечения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot \frac{r}{2} = \frac{r^2}{2}\)

Ответ: \(\frac{r^2}{2}\)