ІІ вариант 1. Вычислите с помощью формулы Ньютона - Лейбница определенный интеграл: 4 a) (x²-x+1)dx; 2 25 2 6) cos xdx; e B) 3dx 1 x

Ответ: a) 28/3; б) 0; в) ln3

a) \(\int_{2}^{4} (x^2 - x + 1) dx\)

• Шаг 1: Найдем первообразную функцию:

\[F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x\]

• Шаг 2: Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[\int_{2}^{4} (x^2 - x + 1) dx = F(4) - F(2)\]

• Шаг 3: Вычислим значения первообразной в точках 4 и 2:

\[F(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{4^2}{2} + 4 = \frac{64}{3} - 8 + 4 = \frac{64}{3} - 4 = \frac{64 - 12}{3} = \frac{52}{3}\]

\[F(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 = \frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3}\]

• Шаг 4: Найдем разность:

\[\int_{2}^{4} (x^2 - x + 1) dx = \frac{52}{3} - \frac{8}{3} = \frac{44}{3}\]

Ответ: \(\frac{44}{3}\)

б) \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx\)

• Шаг 1: Найдем первообразную функцию:

\[F(x) = \sin x\]

• Шаг 2: Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(-\frac{\pi}{2})\]

• Шаг 3: Вычислим значения первообразной в точках \(\frac{\pi}{2}\) и \(-\frac{\pi}{2}\):

\[F(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\]

\[F(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\]

• Шаг 4: Найдем разность:

\[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 1 - (-1) = 2\]

Ответ: 2

в) \(\int_{1}^{e} \frac{3}{x} dx\)

• Шаг 1: Найдем первообразную функцию:

\[F(x) = 3 \ln |x|\]

• Шаг 2: Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[\int_{1}^{e} \frac{3}{x} dx = F(e) - F(1)\]

• Шаг 3: Вычислим значения первообразной в точках e и 1:

\[F(e) = 3 \ln e = 3 \cdot 1 = 3\]

\[F(1) = 3 \ln 1 = 3 \cdot 0 = 0\]

• Шаг 4: Найдем разность:

\[\int_{1}^{e} \frac{3}{x} dx = 3 - 0 = 3\]

Ответ: 3

Ответ: a) 44/3; б) 2; в) 3