II вариант 1. К диагонали BD прямоугольника ABCD проведен перпендику- ляр АК так, что ВК = 5 см, DK = 15 см. Найти: а) ВС : CD; 6) PBCD; B) SBCD. 2. В прямоугольной трапеции ABCD LD = 90°. Точка К лежит на основании AD так, что АК = КО и ВК перпендикулярно ВС. Точка О – середина диагонали BD. Докажите, что AB : AD = BO : ВС. Найдите площадь треугольника ABD, если площадь пятиугольни- ка ABOCD равна 30 см. 2 3. Диагональ АС трапеции ABCD равна 8 см и делит ее на два по- добных треугольника. Найдите основание ВС, если AD равно 16 см. 4*. На сторонах РО и PS треугольника OPS взяты точки А и В со- ответственно так, что ∠PAB = ∠S. Биссектриса РС треугольника OPS делит сторону OS на два отрезка так, что OC : CS = 4 : 3. Най- дите отношение РВ К РА.

Ответ: Решение в процессе...

Задача 1

К диагонали BD прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр AK так, что BK = 5 см, DK = 15 см. Найти: a) BC : CD; б) P_BCD; в) S_BCD.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора, AB² = AK² + BK².
• Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD. По теореме Пифагора, AD² = AK² + DK².
• Так как ABCD прямоугольник, AB = CD и BC = AD.
• Обозначим AB = x, AD = y. Тогда имеем систему уравнений:
• x² = AK² + 25
• y² = AK² + 225
• Вычитая первое уравнение из второго, получаем: y² - x² = 200.
• Из подобия треугольников ABK и ADK следует, что BK/AK = AK/DK, то есть AK² = BK * DK = 5 * 15 = 75.
• Подставляем AK² = 75 в уравнения:
• x² = 75 + 25 = 100, следовательно, x = 10 см.
• y² = 75 + 225 = 300, следовательно, y = 10√3 см.
• a) BC : CD = AD : AB = 10√3 : 10 = √3 : 1.
• б) P_BCD = BC + CD + BD. BD = BK + KD = 5 + 15 = 20 см. P_BCD = 10√3 + 10 + 20 = 10(√3 + 3) см.
• в) S_BCD = (1/2) * CD * BC = (1/2) * 10 * 10√3 = 50√3 см².

Ответ:

• a) BC : CD = √3 : 1
• б) P_BCD = 10(√3 + 3) см
• в) S_BCD = 50√3 см²

Задача 2

В прямоугольной трапеции ABCD ∠D = 90°. Точка K лежит на основании AD так, что AK = KD и BK перпендикулярно BC. Точка O – середина диагонали BD. Докажите, что AB : AD = BO : BC. Найдите площадь треугольника ABD, если площадь пятиугольника ABOCD равна 30 см².

Доказательство:

• Пусть точка M – середина BC. Тогда OM – средняя линия треугольника BCD, следовательно, OM || CD и OM = CD/2.
• Так как ABCD – прямоугольная трапеция, CD ⊥ AD. Следовательно, OM ⊥ AD.
• Рассмотрим треугольники ABO и CDO. ∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. ∠BAO = ∠DCO как углы между перпендикулярами AB и CD к AD. Значит, треугольники ABO и CDO подобны.
• Из подобия треугольников ABO и CDO следует, что AB/CD = BO/DO. Так как O – середина BD, BO = DO. Следовательно, AB = CD.
• Рассмотрим треугольники ABK и CBK. AK = KD, BK перпендикулярно BC.
• Так как AK = KD, то AD = 2AK.
• Нужно доказать, что AB : AD = BO : BC. AB/AD = CD/(2AK).
• Пусть AB = x, AD = y, BC = z. Тогда x/y = BO/z.
• Площадь пятиугольника ABOCD равна площади трапеции ABCD минус площадь треугольника BOC. S_ABOCD = S_ABCD - S_BOC = 30.
• S_ABCD = (AB + CD) * AD / 2 = (x + z) * y / 2.
• Пусть S_ABD = S. Тогда S_ABOCD = S_ABD + S_BCD - S_BOC = 30.

Найти площадь треугольника ABD, если площадь пятиугольника ABOCD равна 30 см².

Задача 3

Диагональ AC трапеции ABCD равна 8 см и делит ее на два подобных треугольника. Найдите основание BC, если AD равно 16 см.

• Так как треугольники ABC и ACD подобны, то AB/AC = BC/CD = AC/AD.
• Из AC/AD = BC/AC следует, что BC = AC² / AD = 8² / 16 = 64 / 16 = 4 см.

Ответ: BC = 4 см

Задача 4*

На сторонах PO и PS треугольника OPS взяты точки A и B соответственно так, что ∠PAB = ∠S. Биссектриса PC треугольника OPS делит сторону OS на два отрезка так, что OC : CS = 4 : 3. Найдите отношение PB к PA.

Ответ: Решение этой задачи требует дополнительного анализа и построения.